上册 2.3 函数的零点 第6题
📝 题目
6．设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上有定义，且 $f(a) \geqslant a, f(b) \leqslant b$ ．在以下两种情况下，证明：存在一点 $\xi \in[a, b]$ 使 $f(\xi)=\xi$ 。
（1）设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续；（2）设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上单调增加但未必连续．
（厦门大学 2013／2014，南航 2011，中科大 2011，武汉大学 2006，天津工大 2005，西南大学 2005，首都师大 2000，安徽大学 1999，南开大学 2010，重庆大学 2009，苏州大学 $2001 / 2009 / 2008$（ $[a, b]=[0,1]$ ），苏州科技 2009 ，燕山大学 2004 ，河北大学 2010 ，吉林大学 2003 ，上海交大 2001 ，宁波大学 2009 ，武汉科技 2008 ，山东大学1981，南京农大2008，杭州师大 2006（ $[a, b]=[0,1]$ ）
💡 答案解析
\section*{证明过程：}
（1）设 $F(x)=f(x)-x$ ，则 $F(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，且 $F(a)=f(a)-a \geqslant 0, F(b)=f(b)-b \leqslant 0$ ．
若 $F(a)=0$ ，则 $f(a)=a$ ，即 $a$ 为 $f(x)$ 的不动点．若 $F(b)=0$ ，则 $f(b)=b$ ，即 $b$ 为 $f(x)$ 的不动点．
若 $F(a)>0, F(b)<0$ ，则由根的存在性定理，在 $(a, b)$ 内至少有一个点 $x_{0}$ ，使 $F\left(x_{0}\right)=0$ ，即 $f\left(x_{0}\right)=x_{0}$ ，亦即 $x_{0}$ 为 $f(x)$ 的不动点。
综上所述，$f(x)$ 在 $[a, b]$ 内至少有一个不动点．
（2）设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上单调增加．作曲线 $y=x$ ，易知 $A(a, f(a))$ 在 $y=x$ 上方，$B(b, f(b))$ 在 $y=x$ 的下方．
取 $[a, b]$ 的中点 $\displaystyle c_{1}=\frac{a+b}{2}$ ，若点 $C\left(c_{1}, f\left(c_{1}\right)\right)$ 在直线 $y=x$ 上即证．否则点 $C$ 或在直线上方或在直线下方。总之，存在 $\left[a_{1}, b_{1}\right]$ 使 $A\left(a_{1}, f\left(a_{1}\right)\right)$ 在 $y=x$ 上方，$B\left(b_{1}, f\left(b_{1}\right)\right)$ 在 $y=x$ 的下方。
这样继续下去，存在区间套 $\left\{\left[a_{n}, b_{n}\right]\right\}$ ，满足：
$$
\begin{aligned}
& {[a, b] \supset\left[a_{1}, b_{1}\right] \supset\left[a_{2}, b_{2}\right] \supset \cdots \supset\left[a_{n}, b_{n}\right] \supset \cdots} \\
& a_{n}
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：构造辅助函数并分析端点值
令 $F(x)=f(x)-x$，则 $F(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续（因为 $f(x)$ 连续）。计算端点值：$F(a)=f(a)-a \geqslant 0$，$F(b)=f(b)-b \leqslant 0$。
公式：F(x)=f(x)-x
提示：注意 $F(a)$ 和 $F(b)$ 的符号可能为零，需要单独讨论。
步骤 2/7
目标：讨论端点为零的情况
若 $F(a)=0$，则 $f(a)=a$，即 $\xi=a$ 为不动点；若 $F(b)=0$，则 $f(b)=b$，即 $\xi=b$ 为不动点。
提示：不要遗漏端点为零的情况，否则证明不完整。
步骤 3/7
目标：应用零点定理
若 $F(a)>0$ 且 $F(b)<0$，则由零点定理（根的存在性定理），存在 $\xi \in (a,b)$ 使得 $F(\xi)=0$，即 $f(\xi)=\xi$。
公式：零点定理：若 $F$ 在 $[a,b]$ 连续且 $F(a)F(b)<0$，则存在 $c\in(a,b)$ 使 $F(c)=0$。
提示：零点定理要求函数连续且端点函数值异号，这里 $F(a)>0$，$F(b)<0$ 满足条件。
步骤 4/7
目标：总结连续情形
综合以上，无论哪种情况，都存在 $\xi\in[a,b]$ 使得 $f(\xi)=\xi$。
提示：证明完成，注意结论中 $\xi$ 可以取端点。
步骤 5/7
目标：单调情形：构造区间套
设 $f(x)$ 单调增加。取中点 $c_1=\frac{a+b}{2}$。若 $f(c_1)=c_1$，则得证。否则，若 $f(c_1)>c_1$，则取 $a_1=c_1, b_1=b$；若 $f(c_1)
公式：区间套：$[a,b]\supset[a_1,b_1]\supset\cdots\supset[a_n,b_n]\supset\cdots$，$b_n-a_n\to0$
提示：注意每次选取区间时，要保证左端点函数值大于左端点，右端点函数值小于右端点，这由单调性保证。
步骤 6/7
目标：应用区间套定理
由区间套定理，存在唯一的 $\xi$ 属于所有 $[a_n,b_n]$，且 $\lim a_n=\lim b_n=\xi$。
公式：区间套定理：若闭区间套 $\{[a_n,b_n]\}$ 满足 $b_n-a_n\to0$，则存在唯一 $\xi$ 属于所有区间。
提示：区间套定理是实数完备性的体现，需要确认区间是闭的。
步骤 7/7
目标：利用单调性证明不动点
由单调性，对任意 $n$ 有 $a_n
公式：单调性：$a_n\leqslant\xi\leqslant b_n$ 推出 $f(a_n)\leqslant f(\xi)\leqslant f(b_n)$
提示：注意 $f$ 单调增加但不一定连续，因此不能直接取极限，但利用不等式夹逼仍可得到结论。
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