上册 2.3 函数的零点 第5题
📝 题目
5．证明下列结论．
（1）设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，若 $x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n} \in[a, b]$ ，且有一组正数 $\lambda_{1}, \lambda_{2}, \cdots, \lambda_{n}>0$ 满足 $\lambda_{1}+\lambda_{2}+\cdots+\lambda_{n}=1$ ，证明：存在 $c \in[a, b]$ ，使 $f(c)=\lambda_{1} f\left(x_{1}\right)+\lambda_{2} f\left(x_{2}\right)+\cdots+\lambda_{n} f\left(x_{n}\right)$ 。
（2）设 $f(x)$ 为 $[a, b]$ 上的连续函数，且 $x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n} \in(a, b)$ 。证明：仔在 $\xi \in(a, b)$ ，使得 $\displaystyle f(\xi)=\frac{1}{n^{2}} \sum_{k=1}^{n}(2 k-1) f\left(x_{k}\right)$ 。
（3）设 $f(x)$ 为 $[a, b]$ 上的连续函数，且 $x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n} \in(a, b)$ 。证明：存在 $\xi \in(a, b)$ 使
$$
f(\xi)=\frac{2}{n(n+1)}\left(f\left(x_{1}\right)+2 f\left(x_{2}\right)+\cdots+n f\left(x_{n}\right)\right) . \text { }
$$
（4）设 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 士连续， $0<\lambda<1$ ，求证：存在 $\xi \in[a, b]$ ，使得 $f(\xi)=\lambda f(a)+(1-\lambda) f(b)$ 。
💡 答案解析
\section*{证明过程：}
（1）闭区间上的连续函数一定能取到最大值和最小值，记 $f\left(b_{1}\right)=\min _{|a, b|} f(x), f\left(b_{2}\right)=\max _{|a, b|} f(x)$ ．由于
$$
\min _{[a, b]} f(x) \leqslant \lambda_{1} f\left(x_{1}\right)+\lambda_{2} f\left(x_{2}\right)+\cdots+\lambda_{n} f\left(x_{n}\right) \leqslant \max _{|a, b|} f(x)
$$
由介值定理知，在 $b_{1}$ 与 $b_{2}$ 之间存在 $c$ ，当然 $c \in[a, b]$ ，使得 $f(c)=\lambda_{1} f\left(x_{1}\right)+\lambda_{2} f\left(x_{2}\right)+\cdots+\lambda_{n} f\left(x_{n}\right)$ ．
（2）取 $\displaystyle \lambda_{i}=\frac{2 i-1}{n^{2}}$ ，由（1）得证．
（3）取 $\displaystyle \lambda_{i}=\frac{2 i}{n(n+1)}$ ，由（1）得证．
（4）取 $\displaystyle \lambda_{1}=\frac{n}{n+m}, \lambda_{2}=\frac{m}{n+m}$ ，由（1）得证。
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：利用最值定理和介值定理证明（1）
由于 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，根据最值定理，存在 $m, M$ 使得 $m = \min_{x\in[a,b]} f(x)$，$M = \max_{x\in[a,b]} f(x)$。对于任意 $x_i \in [a,b]$ 和正数 $\lambda_i$ 满足 $\sum_{i=1}^n \lambda_i = 1$，有 $m \leq f(x_i) \leq M$，从而 $\lambda_i m \leq \lambda_i f(x_i) \leq \lambda_i M$。求和得 $m \sum \lambda_i \leq \sum \lambda_i f(x_i) \leq M \sum \lambda_i$，即 $m \leq \sum \lambda_i f(x_i) \leq M$。由介值定理，存在 $c \in [a,b]$ 使得 $f(c) = \sum \lambda_i f(x_i)$。
公式：介值定理：若连续函数 $f$ 在区间上取到最小值 $m$ 和最大值 $M$，则对任意介于 $m$ 和 $M$ 之间的数 $y$，存在 $c$ 使得 $f(c)=y$。
提示：注意 $\lambda_i$ 为正且和为1，确保加权平均值介于最小值和最大值之间。
步骤 2/4
目标：应用（1）的结论证明（2）
令 $\lambda_k = \frac{2k-1}{n^2}$，$k=1,2,\dots,n$。验证 $\lambda_k > 0$ 且 $\sum_{k=1}^n \lambda_k = \frac{1}{n^2} \sum_{k=1}^n (2k-1) = \frac{1}{n^2} \cdot n^2 = 1$。由（1）的结论，存在 $\xi \in [a,b]$ 使得 $f(\xi) = \sum_{k=1}^n \lambda_k f(x_k) = \frac{1}{n^2} \sum_{k=1}^n (2k-1) f(x_k)$。由于 $x_k \in (a,b)$，且 $\xi$ 可能取端点，但题目要求 $\xi \in (a,b)$，实际上由介值定理，$\xi$ 可取在 $x_k$ 之间，故 $\xi \in (a,b)$。
公式：等差数列求和：$\sum_{k=1}^n (2k-1) = n^2$。
提示：注意验证 $\lambda_k$ 的和为1，并确保 $\xi$ 在开区间内。
步骤 3/4
目标：应用（1）的结论证明（3）
令 $\lambda_k = \frac{2k}{n(n+1)}$，$k=1,2,\dots,n$。则 $\lambda_k > 0$，且 $\sum_{k=1}^n \lambda_k = \frac{2}{n(n+1)} \sum_{k=1}^n k = \frac{2}{n(n+1)} \cdot \frac{n(n+1)}{2} = 1$。由（1）的结论，存在 $\xi \in [a,b]$ 使得 $f(\xi) = \sum_{k=1}^n \lambda_k f(x_k) = \frac{2}{n(n+1)} \sum_{k=1}^n k f(x_k)$。由于 $x_k \in (a,b)$，同样可证 $\xi \in (a,b)$。
公式：等差数列求和：$\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}$。
提示：注意系数 $\frac{2}{n(n+1)}$ 的推导，确保和为1。
步骤 4/4
目标：应用（1）的结论证明（4）
取 $n=2$，$x_1=a$，$x_2=b$，$\lambda_1 = \lambda$，$\lambda_2 = 1-\lambda$，其中 $0<\lambda<1$。则 $\lambda_1,\lambda_2>0$ 且 $\lambda_1+\lambda_2=1$。由（1）的结论，存在 $\xi \in [a,b]$ 使得 $f(\xi) = \lambda f(a) + (1-\lambda) f(b)$。
公式：无新公式。
提示：注意 $\lambda$ 在0和1之间，确保 $\lambda_i$ 为正。
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