上册 2.3 函数的零点 第4题
📝 题目
4．证明下列结论．
（1）设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，且 $f(a)=f(b)$ ．证明：对任意自然数 $n$ ，存在 $x_{0} \in[a, b]$ ，使 $\displaystyle f\left(x_{0}\right)=f\left(x_{0}+\frac{b-a}{n}\right)$.
（2）设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，且 $f(0)=f(1)$ ．证明：对任意自然数 $n$ ，存在 $\displaystyle x_{0} \in\left[0,1-\frac{1}{n}\right]$ ，使 $\displaystyle f\left(x_{0}\right)=f\left(x_{0}+\frac{1}{n}\right)$ ．（江苏大学 2011，延安大学 $2000 / 2004(n=4)$ ，华中师大 $2006(n=2)$ ，湖北大学 2003（ $n=3$ ），上海大学 2004（ $n=3$ ），西安理工 2005，河海大学 2000，西北大学 2007）
（3）设函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上可积，且 $\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x=0$ ．证明：对任意自然数 $n$ ，在 $(0,1)$ 内至少存在一点 $\xi$ 使， $\displaystyle \int_{\xi}^{\xi+\frac{1}{n}} f(x) \mathrm{d} x=0$ 。
💡 答案解析
\section*{证明过程：}
（1）记 $\displaystyle F(x)=f\left(x+\frac{b-a}{n}\right)-f(x), x \in\left(a, a+\frac{n-1}{n}(b-a)\right)$ ，则由题意，
$$
F(a)+F\left(a+\frac{b-a}{n}\right)+\cdots+F\left(a+\frac{(n-1)(b-a)}{n}\right)=0
$$
若对某个 $1 \leqslant i \leqslant n-1$ ，有 $\displaystyle F\left(a+\frac{i(b-a)}{n}\right)=0$ ，则结论已证。不然的话，定有 $i
📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：构造辅助函数
对于(1)，令 $F(x)=f\left(x+\frac{b-a}{n}\right)-f(x)$，定义域为 $x\in[a, a+\frac{n-1}{n}(b-a)]$。
公式：$F(x)=f\left(x+\frac{b-a}{n}\right)-f(x)$
提示：注意定义域，确保 $x+\frac{b-a}{n}\leq b$。
步骤 2/8
目标：求和为零
考虑 $F(a)+F\left(a+\frac{b-a}{n}\right)+\cdots+F\left(a+\frac{(n-1)(b-a)}{n}\right)$，代入 $F$ 表达式，每一项为 $f\left(a+\frac{k(b-a)}{n}+\frac{b-a}{n}\right)-f\left(a+\frac{k(b-a)}{n}\right)$，求和后相邻项抵消，最终得到 $f(b)-f(a)=0$，故总和为0。
公式：$\sum_{k=0}^{n-1}F\left(a+\frac{k(b-a)}{n}\right)=0$
提示：注意 $f(a)=f(b)$ 的条件。
步骤 3/8
目标：分类讨论
若存在某个 $k$ 使得 $F\left(a+\frac{k(b-a)}{n}\right)=0$，则取 $x_0=a+\frac{k(b-a)}{n}$ 即得证。否则所有项非零，由于和为0，必存在两项异号。
提示：注意 $k$ 从0到 $n-1$。
步骤 4/8
目标：应用介值定理
设 $F\left(a+\frac{i(b-a)}{n}\right)>0$，$F\left(a+\frac{j(b-a)}{n}\right)<0$，由连续函数的介值定理，存在 $\xi$ 介于两者之间使得 $F(\xi)=0$，即 $f(\xi)=f\left(\xi+\frac{b-a}{n}\right)$。
提示：注意 $F$ 的连续性由 $f$ 连续保证。
步骤 5/8
目标：特例处理（n=1）
对于(2)，当 $n=1$ 时，取 $x_0=0$，则 $f(0)=f(1)$ 成立。
提示：注意 $n=1$ 时区间退化为一点。
步骤 6/8
目标：构造并求和
对于 $n\geq 2$，令 $F(x)=f\left(x+\frac{1}{n}\right)-f(x)$，定义域 $x\in[0,1-\frac{1}{n}]$。考虑 $F(0)+F\left(\frac{1}{n}\right)+\cdots+F\left(\frac{n-1}{n}\right)$，同样求和为0。
公式：$\sum_{k=0}^{n-1}F\left(\frac{k}{n}\right)=0$
提示：注意 $F\left(\frac{n-1}{n}\right)=f(1)-f\left(\frac{n-1}{n}\right)$。
步骤 7/8
目标：分类讨论与介值定理
若所有 $F\left(\frac{k}{n}\right)=0$，则取 $x_0=\frac{k}{n}$ 即可。否则存在异号项，由介值定理存在 $x_0$ 使得 $F(x_0)=0$。
提示：注意 $x_0$ 的范围是 $[0,1-\frac{1}{n}]$。
步骤 8/8
目标：转化为原函数
对于(3)，令 $F(x)=\int_0^x f(t)dt$，则 $F(0)=F(1)=0$。考虑 $G(x)=F\left(x+\frac{1}{n}\right)-F(x)$，由(1)的结论（取 $a=0,b=1$），存在 $x_0$ 使得 $G(x_0)=0$，即 $\int_{x_0}^{x_0+1/n}f(x)dx=0$。
公式：$G(x)=F\left(x+\frac{1}{n}\right)-F(x)$
提示：注意 $F$ 连续，且 $F(0)=F(1)=0$。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。