上册 2.3 函数的零点 第3题
📝 题目
3．证明下列结论．
（1）设 $f(x)$ 在 $[0,2 a]$ 上连续，且 $f(0)=f(2 a)$ ．证明：方程 $f(x)=f(x+a)$ 在 $[0, a]$ 内至少有一个根．
（2）设 $f(x)$ 在 $[a, a+2 \alpha]$ 上连续，证明：$\exists \xi \in[a, a+\alpha]$ ，使得
$$
f(\xi+\alpha)-f(\xi)=\frac{f(a+2 \alpha)-f(a)}{2} . }
$$
💡 答案解析
\section*{证明过程：}
（1）设 $F(x)=f(x)-f(x+a)$ ，由于 $f(x)$ 在 $[0,2 a]$ 上连续，故 $f(x+a)$ 在 $[0, a]$ 上连续．于是 $F(x)$ 在 $[0, a]$ 上连续，且 $F(0)=f(0)-f(a), F(a)=f(a)-f(2 a)=f(a)-f(0)$ ．
（I）若 $f(0)=f(a)$ ，则 $x=0, a$ 均是使得 $f(x)=f(x+a)$ 成立的 $x$ ．
（II）若 $f(0) \neq f(a)$ ，则 $F(0) \cdot F(a)<0$ ．由根的存在性定理，$\exists x \in(0, a)$ ，使得 $F(x)=0$ ，即 $f(x)=f(x+a)$ ．
由（I）（II）得知结论成立。
（2）令 $\displaystyle F(t)=f(t+\alpha)-f(t)-\frac{1}{2}[f(a+2 \alpha)-f(a)]$ ，则 $F(a) F(a+\alpha) \leq 0$ ，且 $F(t)$ 在 $[a, a+\alpha]$ 连续．
若 $F(a)=0$ 或 $F(a+\alpha)=0$ ，则命题显然成立．否则 $F(a) F(a+\alpha)<0$ ．由介值定理， $\exists \xi \in(a, a+\alpha)$ ，使得 $F(\xi)=0$ ，即
$$
f(\xi+\alpha)-f(\xi)=\frac{1}{2}(f(a+2 \alpha)-f(a))
$$
另证：设 $F(x)=f(x+\alpha)-f(x)$ ，则有 $F(a)=f(a+\alpha)-f(a), F(a+\alpha)=f(a+2 \alpha)-f(a+\alpha)$ ．由介值定理，存在 $\xi \in[a, a+\alpha]$ ，使得 $\displaystyle F(\xi)=\frac{1}{2}(F(a+\alpha)+F(a))$ ，即
$$
f(\xi+\alpha)-f(\xi)=\frac{1}{2}(f(a+2 \alpha)-f(a))
$$
📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：构造辅助函数
对于第(1)问，令 $F(x)=f(x)-f(x+a)$。由于 $f(x)$ 在 $[0,2a]$ 上连续，则 $f(x+a)$ 在 $[0,a]$ 上连续，故 $F(x)$ 在 $[0,a]$ 上连续。
公式：$F(x)=f(x)-f(x+a)$
提示：注意 $x$ 的取值范围：$x\in[0,a]$ 时，$x+a\in[a,2a]$，确保 $f(x+a)$ 有定义。
步骤 2/8
目标：计算端点函数值
计算 $F(0)=f(0)-f(a)$，$F(a)=f(a)-f(2a)$。由条件 $f(0)=f(2a)$，得 $F(a)=f(a)-f(0)$。
公式：$F(0)=f(0)-f(a)$，$F(a)=f(a)-f(0)$
提示：注意 $F(a)$ 的化简利用了 $f(0)=f(2a)$。
步骤 3/8
目标：分情况讨论根的存在性
情况1：若 $f(0)=f(a)$，则 $F(0)=0$，$F(a)=0$，即 $x=0$ 和 $x=a$ 都是根。情况2：若 $f(0)\neq f(a)$，则 $F(0)$ 与 $F(a)$ 互为相反数，故 $F(0)\cdot F(a)<0$。由连续函数的零点定理，存在 $\xi\in(0,a)$ 使得 $F(\xi)=0$，即 $f(\xi)=f(\xi+a)$。
公式：零点定理：若 $F(x)$ 在 $[0,a]$ 上连续且 $F(0)F(a)<0$，则存在 $\xi\in(0,a)$ 使 $F(\xi)=0$。
提示：注意 $F(0)$ 和 $F(a)$ 异号是应用零点定理的关键。
步骤 4/8
目标：总结第(1)问
综合两种情况，方程 $f(x)=f(x+a)$ 在 $[0,a]$ 内至少有一个根。
步骤 5/8
目标：构造第(2)问的辅助函数
对于第(2)问，令 $F(t)=f(t+\alpha)-f(t)-\frac{1}{2}[f(a+2\alpha)-f(a)]$。则 $F(t)$ 在 $[a, a+\alpha]$ 上连续。
公式：$F(t)=f(t+\alpha)-f(t)-\frac{1}{2}[f(a+2\alpha)-f(a)]$
提示：注意 $t$ 的取值范围：$t\in[a, a+\alpha]$ 时，$t+\alpha\in[a+\alpha, a+2\alpha]$，确保 $f(t+\alpha)$ 有定义。
步骤 6/8
目标：计算端点函数值并判断符号
计算 $F(a)=f(a+\alpha)-f(a)-\frac{1}{2}[f(a+2\alpha)-f(a)]=\frac{1}{2}[f(a+\alpha)-f(a)]-\frac{1}{2}[f(a+2\alpha)-f(a+\alpha)]$。类似地，$F(a+\alpha)=f(a+2\alpha)-f(a+\alpha)-\frac{1}{2}[f(a+2\alpha)-f(a)]=\frac{1}{2}[f(a+2\alpha)-f(a+\alpha)]-\frac{1}{2}[f(a+\alpha)-f(a)]$。于是 $F(a) = -F(a+\alpha)$，故 $F(a)F(a+\alpha) \leq 0$。
公式：$F(a) = -F(a+\alpha)$
提示：注意 $F(a)$ 和 $F(a+\alpha)$ 互为相反数，因此乘积非正。
步骤 7/8
目标：应用零点定理或介值定理
若 $F(a)=0$ 或 $F(a+\alpha)=0$，则命题显然成立（取 $\xi=a$ 或 $\xi=a+\alpha$）。否则 $F(a)F(a+\alpha)<0$，由零点定理，存在 $\xi\in(a, a+\alpha)$ 使得 $F(\xi)=0$，即 $f(\xi+\alpha)-f(\xi)=\frac{1}{2}[f(a+2\alpha)-f(a)]$。
公式：零点定理
提示：注意 $\xi$ 的取值范围是闭区间 $[a, a+\alpha]$，包括端点。
步骤 8/8
目标：提供另一种证明方法
另证：令 $G(x)=f(x+\alpha)-f(x)$，则 $G(a)=f(a+\alpha)-f(a)$，$G(a+\alpha)=f(a+2\alpha)-f(a+\alpha)$。由介值定理，存在 $\xi\in[a, a+\alpha]$ 使得 $G(\xi)=\frac{1}{2}[G(a)+G(a+\alpha)]$，即 $f(\xi+\alpha)-f(\xi)=\frac{1}{2}[f(a+2\alpha)-f(a)]$。
公式：介值定理：若 $G$ 连续，则 $G$ 可取到端点函数值的平均值。
提示：注意介值定理要求函数连续，且平均值介于两端点值之间。
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