上册 2.3 函数的零点 第10题
📝 题目
10．证明下列命题．
（1）设函数 $f(x), g(x):[0,1] \rightarrow[0,1]$ 连续，且对任意 $x \in[0,1], f(g(x))=g(f(x))$ ．求证：若 $f(x)$递减，则存在唯一的 $x_{0} \in[0,1]$ ，使 $f\left(x_{0}\right)=g\left(x_{0}\right)=x_{0}$ 。
（2）设 $f(x):[0,1] \rightarrow[0,1]$ 为连续函数，$f(0)=0, f(1)=1, f(f(x))=x$ 。证明：$f(x)=x$ 。
（3）设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上连续且 $f(f(x))=x$ 。证明：$f(x)$ 存在不动点．
（4）设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，且 $\displaystyle \forall x \in[a, b],\left|f(x)-\frac{b+a}{2}\right| \leqslant \frac{b-a}{2}$ ．证明：$f(f(x))=x$ 在 $[a, b]$ 上存在不动点．
💡 答案解析
证明过程：
（1）设 $F(x)=f(x)-x$ ，则对 $\forall x_{1}, x_{2} \in[0,1], x_{1}0 .
$$
故 $F(x)$ 在 $[0,1]$ 上严格单调减少．
又 $F(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，$F(0)=f(0) \geqslant 0, F(1)=f(1)-1 \leqslant 0$ ．由根的存在性定理及单调性，存在唯一的 $x_{0} \in[0,1]$ ，使 $f\left(x_{0}\right)=x_{0}$ 。
由 $f\left(g\left(x_{0}\right)\right)=g\left(f\left(x_{0}\right)\right)=g\left(x_{0}\right)$ 得 $g\left(x_{0}\right)$ 也是 $f(x)$ 的不动点。但 $f(x)$ 的不动点是唯一的，故 $g\left(x_{0}\right)=x_{0}$ 。所以 $f\left(x_{0}\right)=g\left(x_{0}\right)=x_{0}$ 。
（2）分析：由介值性和一对一性可得单调性，由 $f(0)=0, f(1)=1$ 可得递增。证明如下：
先证：$f(x)$ 为单射。设 $x_{1}, x_{2} \in[0,1]$ 且 $f\left(x_{1}\right)=f\left(x_{2}\right)$ ，则 $f\left(f\left(x_{1}\right)\right)=f\left(f\left(x_{2}\right)\right)$ ，即 $x_{1}=x_{2}$ 。所以 $f(x)$ 为单射。
再证：$f(x)$ 是严格单调的．
若 $f(x)$ 不严格单调，则有两种情形：
情形 1：存在 $x_{1}f\left(x_{3}\right)$ 。
情形 2：存在 $x_{1}f\left(x_{2}\right), f\left(x_{2}\right)
📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：构造辅助函数并证明其单调性
设 $F(x)=f(x)-x$。由于 $f(x)$ 递减，对任意 $x_10$，故 $F(x)$ 严格递减。
公式：F(x)=f(x)-x
提示：注意单调性的定义：递减函数满足 $x_1
步骤 2/8
目标：利用介值定理和单调性证明存在唯一不动点
$F(0)=f(0)\ge 0$，$F(1)=f(1)-1\le 0$。由连续函数介值定理，存在 $x_0\in[0,1]$ 使 $F(x_0)=0$，即 $f(x_0)=x_0$。由 $F$ 严格递减知不动点唯一。
提示：注意 $f$ 的值域是 $[0,1]$，所以 $f(0)\ge 0$，$f(1)\le 1$。
步骤 3/8
目标：证明 $g(x_0)=x_0$
由 $f(g(x_0))=g(f(x_0))=g(x_0)$，知 $g(x_0)$ 也是 $f$ 的不动点。由唯一性得 $g(x_0)=x_0$。因此 $f(x_0)=g(x_0)=x_0$。
公式：f(g(x_0))=g(f(x_0))
提示：利用已知条件 $f(g(x))=g(f(x))$ 和已证的不动点唯一性。
步骤 4/8
目标：证明 $f$ 是单射
若 $f(x_1)=f(x_2)$，则 $f(f(x_1))=f(f(x_2))$，即 $x_1=x_2$，故 $f$ 是单射。
公式：f(f(x))=x
提示：单射的定义：不同自变量对应不同函数值。
步骤 5/8
目标：证明 $f$ 严格单调
反证法。若 $f$ 不严格单调，则存在 $x_1f(x_3)$ 或 $f(x_1)>f(x_2)
提示：注意严格单调的定义：严格递增或严格递减。
步骤 6/8
目标：确定单调性并证明 $f(x)=x$
由 $f(0)=0, f(1)=1$ 及严格单调，知 $f$ 严格递增。若存在 $x$ 使 $f(x)>x$，则 $f(f(x))>f(x)$，即 $x>f(x)$，矛盾；若 $f(x)
提示：利用 $f(f(x))=x$ 和单调性进行不等式推导。
步骤 7/8
目标：构造辅助函数并利用零点定理
设 $F(x)=f(x)-x$。若存在 $x$ 使 $F(x)=0$，则得证。否则，对任意 $x$，$F(x)\neq 0$，则 $F(x)\cdot F(f(x))=-(f(x)-x)^2<0$，由零点定理，在 $x$ 与 $f(x)$ 之间存在 $\xi$ 使 $F(\xi)=0$，即 $f(\xi)=\xi$。
公式：F(x)=f(x)-x, F(f(x))=x-f(x)
提示：注意 $f(f(x))=x$ 的应用。
步骤 8/8
目标：利用已知不等式构造辅助函数
由 $\left|f(x)-\frac{b+a}{2}\right|\le \frac{b-a}{2}$ 得 $a\le f(x)\le b$。设 $F(x)=f(f(x))-x$，则 $F(a)=f(f(a))-a\ge 0$，$F(b)=f(f(b))-b\le 0$。若 $F(a)=0$ 或 $F(b)=0$，则得证；否则由零点定理存在 $\xi$ 使 $F(\xi)=0$，即 $f(f(\xi))=\xi$。
提示：注意 $f$ 的值域在 $[a,b]$ 内，所以 $f(a), f(b)$ 也在 $[a,b]$ 内。
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