上册 2.3 函数的零点 第11题
📝 题目
11．设 $f: \mathbf{R}^{2} \rightarrow \mathbf{R}$ 为二元连续函数．证明：存在两个不同的点 $p, q$ ，使得 $f(p)=f(q)$ ．
💡 答案解析
\section*{证明过程：}
设 $f(x, y)$ 为连续函数，则对任意 $r>0, F(\theta)=f(r \cos \theta, r \sin \theta)$ 是连续的周期为 $2 \pi$ 的函数．
令 $g(\theta)=F(\theta+\pi)-F(\theta)$ ，则 $g(0)=F(\pi)-F(0), g(\pi)=F(2 \pi)-F(\pi)=F(0)-F(\pi)=-g(0)$ ．
若 $F(\pi)-F(0)=0$ ，则结论得证．
若 $F(\pi)-F(0) \neq 0$ ，则 $g(\pi) g(0)<0$ ．由连续函数的零点定理，存在 $\xi \in(0, \pi)$ ，使得 $g(\xi)=0$ ．由此结论得证。
📋 详细解题步骤
暂无解题步骤
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