上册 2.3 函数的零点 第12题
📝 题目
12．证明下列结论．
（1）设 $f(x), g(x):[0,1] \rightarrow[0,+\infty)$ 为满足 $\sup _{0 \leq x \leq 1} f(x)=\sup _{0 \leq x \leq 1} g(x)$ 的连续函数。证明：存在 $t \in[0,1]$ ，使得 $\mathrm{e}^{f(t)}-f(t)=\mathrm{e}^{g(t)}-g(t)$ ．
（2）设 $f(x), g(x)$ 是 $[0,1]$ 上的函数，满足 $\max _{0 \leq x \leq 1} f(x)=\max _{0 \leq x \leq 1} g(x)$ ．证明：存在 $x_{0} \in[0,1]$ ，使得 $\mathrm{e}^{f\left(x_{0}\right)}+3 f\left(x_{0}\right)=\mathrm{e}^{g\left(x_{0}\right)}+3 g\left(x_{0}\right)$.
💡 答案解析
\section*{证明过程：}
（1）因 $f(x), g(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续， $\sup _{0
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：利用连续函数的最值性质
由于 $f(x), g(x)$ 在闭区间 $[0,1]$ 上连续，因此它们在该区间上存在最大值。由条件 $\sup_{0\leq x\leq 1} f(x) = \sup_{0\leq x\leq 1} g(x)$ 可知，存在 $\xi_1, \xi_2 \in [0,1]$ 使得 $f(\xi_1) = \max f = \max g = g(\xi_2)$。
提示：注意最大值点不一定唯一，但至少存在一个点达到最大值。
步骤 2/6
目标：分情况讨论：最大值点相同
若 $\xi_1 = \xi_2$，则取 $t = \xi_1 = \xi_2$，直接有 $e^{f(t)} - f(t) = e^{g(t)} - g(t)$，结论成立。
提示：不要忽略这种简单情况。
步骤 3/6
目标：最大值点不同时的不等式关系
当 $\xi_1 \neq \xi_2$ 时，由 $\xi_2$ 是 $g$ 的最大值点，有 $g(\xi_1) \leq g(\xi_2) = f(\xi_1)$；同理，由 $\xi_1$ 是 $f$ 的最大值点，有 $f(\xi_2) \leq f(\xi_1) = g(\xi_2)$。
提示：注意不等号方向，利用最大值性质。
步骤 4/6
目标：构造函数并利用单调性
令 $F(x) = (e^{f(x)} - f(x)) - (e^{g(x)} - g(x))$。由于函数 $h(y)=e^y - y$ 在 $\mathbb{R}$ 上单调递增（因为 $h'(y)=e^y-1$，当 $y<0$ 时 $h'<0$？实际上 $h'(y)=e^y-1$，当 $y>0$ 时 $h'>0$，当 $y<0$ 时 $h'<0$，所以 $h$ 在 $(-\infty,0)$ 递减，在 $(0,+\infty)$ 递增，并非整体单调。但题目中 $f,g$ 非负，所以 $y\geq 0$，此时 $h$ 单调递增。因此，由 $g(\xi_1) \leq f(\xi_1)$ 得 $e^{g(\xi_1)}-g(\xi_1) \leq e^{f(\xi_1)}-f(\xi_1)$，即 $F(\xi_1) \geq 0$；由 $f(\xi_2) \leq g(\xi_2)$ 得 $e^{f(\xi_2)}-f(\xi_2) \leq e^{g(\xi_2)}-g(\xi_2)$，即 $F(\xi_2) \leq 0$。
公式：$F(x) = (e^{f(x)} - f(x)) - (e^{g(x)} - g(x))$
提示：注意 $h(y)=e^y-y$ 在 $y\geq 0$ 时单调递增，在 $y<0$ 时单调递减，但题目中函数值非负，故可用单调性。
步骤 5/6
目标：应用零点定理
$F(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，且 $F(\xi_1) \geq 0$，$F(\xi_2) \leq 0$。由零点定理，存在介于 $\xi_1$ 与 $\xi_2$ 之间的 $t$ 使得 $F(t)=0$，即 $e^{f(t)}-f(t)=e^{g(t)}-g(t)$。
公式：零点定理：若连续函数在区间端点异号，则存在零点。
提示：注意 $\xi_1$ 和 $\xi_2$ 可能相等，但已单独处理。
步骤 6/6
目标：第二问的类似证明
第二问与第一问类似，只需将函数 $e^y-y$ 替换为 $e^y+3y$。由于 $e^y+3y$ 在 $\mathbb{R}$ 上严格单调递增（导数为 $e^y+3>0$），因此由 $g(\xi_1) \leq f(\xi_1)$ 得 $e^{g(\xi_1)}+3g(\xi_1) \leq e^{f(\xi_1)}+3f(\xi_1)$，即 $F(\xi_1) \geq 0$；由 $f(\xi_2) \leq g(\xi_2)$ 得 $e^{f(\xi_2)}+3f(\xi_2) \leq e^{g(\xi_2)}+3g(\xi_2)$，即 $F(\xi_2) \leq 0$。再由零点定理得证。
公式：$F(x) = (e^{f(x)}+3f(x)) - (e^{g(x)}+3g(x))$
提示：注意 $e^y+3y$ 在全体实数上单调递增，无需非负条件。
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