上册 2.3 函数的零点 第13题
📝 题目
13．设函数 $f(x), g(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，且存在 $x_{n} \in[a, b]$ 使得 $f\left(x_{n+1}\right)=g\left(x_{n}\right)(n=1,2,3, \cdots)$ ．证明：必存在 $x_{0} \in[a, b]$ 使得 $f\left(x_{0}\right)=g\left(x_{0}\right)$ ．
💡 答案解析
\section*{证明过程：}
设 $\forall x \in[a, b]$ 使得 $f(x) \neq g(x)$ 。令 $F(x)=f(x)-g(x)$ ，则 $F(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续且不变号，不妨设 $F(x)>0$ ．由最值定理，存在一点 $x_{0} \in[a, b]$ 使 $F\left(x_{0}\right)=\min _{[a, b]} F(x)=m>0$ ．于是
$$
F\left(x_{n}\right)=f\left(x_{n}\right)-g\left(x_{n}\right)=f\left(x_{n}\right)-f\left(x_{n+1}\right) \geqslant m>0, n=1,2,3, \cdots
$$
让 $n$ 从 1 取 $k$ 并相加得
$$
f\left(x_{1}\right)-f\left(x_{k}\right) \geqslant k m>0
$$
由此得 $\lim _{k \rightarrow \infty} f\left(x_{k}\right)=-\infty$ ．这与函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上的有界性矛盾．所以必存在 $x_{0} \in[a, b]$ 使得 $f\left(x_{0}\right)=g\left(x_{0}\right)$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：反证法假设
假设对于任意 $x \in [a,b]$，都有 $f(x) \neq g(x)$。定义函数 $F(x)=f(x)-g(x)$，则 $F(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续且不变号（因为若变号，由介值定理存在零点，与假设矛盾）。不妨设 $F(x)>0$。
公式：F(x)=f(x)-g(x)
提示：注意反证法假设的完整性：假设对所有x都不相等，从而F(x)恒正或恒负。
步骤 2/5
目标：利用最值定理得到正下界
由于 $F(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续，由最值定理，存在 $x_0 \in [a,b]$ 使得 $F(x_0)=\min_{x\in[a,b]}F(x)=m>0$。因此对任意 $x\in[a,b]$，有 $F(x)\geq m>0$。
公式：m = \min_{x\in[a,b]}F(x) > 0
提示：最值定理要求函数连续，闭区间。注意最小值m>0是因为F(x)恒正。
步骤 3/5
目标：将条件转化为递推不等式
由已知条件 $f(x_{n+1})=g(x_n)$，代入 $F(x_n)=f(x_n)-g(x_n)$ 得 $F(x_n)=f(x_n)-f(x_{n+1})$。又因为 $F(x_n)\geq m>0$，所以 $f(x_n)-f(x_{n+1})\geq m$。
公式：f(x_n)-f(x_{n+1}) \geq m > 0
提示：注意下标：$x_{n+1}$ 满足 $f(x_{n+1})=g(x_n)$，不要混淆。
步骤 4/5
目标：累加不等式
对 $n=1,2,\dots,k$ 累加上述不等式：$(f(x_1)-f(x_2))+(f(x_2)-f(x_3))+\cdots+(f(x_k)-f(x_{k+1})) \geq k m$。左边裂项相消得 $f(x_1)-f(x_{k+1}) \geq k m$。
公式：f(x_1)-f(x_{k+1}) \geq k m
提示：累加时注意项数：从n=1到k共k个不等式，得到f(x_1)-f(x_{k+1})≥km。
步骤 5/5
目标：导出矛盾
由 $f(x_1)-f(x_{k+1}) \geq k m$ 得 $f(x_{k+1}) \leq f(x_1)-k m$。令 $k\to\infty$，则 $f(x_{k+1})\to -\infty$，这与 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上连续从而有界矛盾。因此假设不成立，必存在 $x_0\in[a,b]$ 使得 $f(x_0)=g(x_0)$。
公式：\lim_{k\to\infty}f(x_{k+1}) = -\infty
提示：注意有界性：连续函数在闭区间上有界，而数列趋于无穷矛盾。
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