上册 2.3 函数的零点 第14题
📝 题目
14．设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内连续，$n$ 为奇数．证明：若 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{f(x)}{x^{n}}=\lim _{x \rightarrow-\infty} \frac{f(x)}{x^{n}}=0$ ，则方程
$f(x)+x^{n}=0$ 有实根．
💡 答案解析
\section*{证明过程：}
设 $F(x)=f(x)+x^{n}, n$ 为奇数，则
$\displaystyle \lim _{x \rightarrow+\infty} F(x)=\lim _{x \rightarrow+\infty} x^{n}\left(\frac{f(x)}{x^{n}}+1\right)=+\infty$ ，于是存在 $a>0$ 使 $f(a)>0$ ；
$\displaystyle \lim _{x \rightarrow-\infty} F(x)=\lim _{x \rightarrow-\infty} x^{n}\left(\frac{f(x)}{x^{n}}+1\right)=-\infty$ ，于是存在 $b<0$ 使 $f(b)<0$ ．
由连续函数的介值定理，存在 $\xi \in(a, b)$ ，使得 $F(\xi)=0$ ，结论得证．
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：构造函数
令 $F(x) = f(x) + x^n$，其中 $n$ 为奇数。我们需要证明方程 $F(x)=0$ 有实根。
公式：F(x)=f(x)+x^n
提示：注意 $n$ 是奇数，这决定了 $x^n$ 在 $x\to\pm\infty$ 时的符号。
步骤 2/6
目标：分析 $x\to+\infty$ 时 $F(x)$ 的极限
计算极限：
$$
\lim_{x\to+\infty} F(x) = \lim_{x\to+\infty} x^n \left( \frac{f(x)}{x^n} + 1 \right).
$$
由已知 $\lim_{x\to+\infty} \frac{f(x)}{x^n}=0$，且 $n$ 为奇数，$x^n\to+\infty$，所以
$$
\lim_{x\to+\infty} F(x) = +\infty.
$$
公式：\lim_{x\to+\infty} F(x) = +\infty
提示：注意 $x^n$ 当 $n$ 为奇数时，$x\to+\infty$ 时 $x^n\to+\infty$。
步骤 3/6
目标：存在正数 $a$ 使得 $F(a)>0$
由极限定义，对于 $M=1>0$，存在 $X>0$，当 $x>X$ 时，$F(x)>1>0$。取 $a>X$，则 $F(a)>0$。
提示：极限为无穷大意味着函数值可以任意大，因此存在点使得函数值为正。
步骤 4/6
目标：分析 $x\to-\infty$ 时 $F(x)$ 的极限
计算极限：
$$
\lim_{x\to-\infty} F(x) = \lim_{x\to-\infty} x^n \left( \frac{f(x)}{x^n} + 1 \right).
$$
由已知 $\lim_{x\to-\infty} \frac{f(x)}{x^n}=0$，且 $n$ 为奇数，$x\to-\infty$ 时 $x^n\to-\infty$，所以
$$
\lim_{x\to-\infty} F(x) = -\infty.
$$
公式：\lim_{x\to-\infty} F(x) = -\infty
提示：注意 $n$ 为奇数时，$x\to-\infty$ 时 $x^n\to-\infty$。
步骤 5/6
目标：存在负数 $b$ 使得 $F(b)<0$
由极限定义，对于 $M=-1<0$，存在 $X<0$，当 $x
提示：极限为负无穷意味着函数值可以任意小，因此存在点使得函数值为负。
步骤 6/6
目标：应用介值定理
由于 $F(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内连续，特别地在闭区间 $[b,a]$ 上连续（注意 $b<00$，由连续函数的介值定理，存在 $\xi \in (b,a)$ 使得 $F(\xi)=0$，即 $f(\xi)+\xi^n=0$，故方程有实根。
公式：介值定理
提示：介值定理要求函数在闭区间上连续，且端点函数值异号。注意 $b$ 和 $a$ 的大小关系：$b
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。