上册 2.3 函数的零点 第15题

\section*{证明过程：} （1）当 $n=2 k$ 时，$\displaystyle f(x)=1+x+\frac{x^{2}}{2!}+\cdots+\frac{x^{2 k}}{(2 k)!}$ 。由于 $\lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=+\infty$ ，所以 $f(x)$ 有最小值点 $\xi, \xi$也是极小值点。于是 $\displaystyle f^{\prime}(\xi)=0, f(\xi)=f^{\prime}(\xi)+\frac{\xi^{2 k}}{(2 k)!}>0$ 。于是 $f(x) \geq f(\xi)>0$ ，故 $f(x)$ 在 $\mathbf{R}$ ：无零点． 当 $n=2 k+1$ 时，$\displaystyle f(x)=1+x+\frac{x^{2}}{2!}+\cdots+\frac{x^{2 k+1}}{(2 k+1)!}$ ．则 $\lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=-\infty, \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=+\infty$ ，由根的存在性定理可知：$f(x)=0$ 在区间 $(-\infty,+\infty)$ 内至少有一个实根． 又 $\displaystyle f^{\prime}(x)=1+x+\frac{x^{2}}{2!}+\cdots+\frac{x^{2 k}}{(2 k)!}$ ．由于 $\lim _{x \rightarrow \infty} f^{\prime}(x)=+\infty$ ，所以 $f^{\prime}(x)$ 有最小值点 $\xi, \xi$ 也是极小值点．于是 $\displaystyle f^{\prime \prime}(\xi)=0, f^{\prime}(\xi)=f^{\prime \prime}(\xi)+\frac{\xi^{2 k}}{(2 k)!}>0$ ，从而 $f^{\prime}(x) \geqslant f^{\prime}(\xi)>0$ 。故 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 严格增加。 综上，当 $n$ 为奇数时 $f(x)$ 在 $\mathbf{R}$ 上有且只有一个零点 （2）设 $a_{0} x^{2 n+1}+a_{1} x^{2 n}+\cdots+a_{2 n} x+a_{2 n+1}=0$ 为一实系数奇次方程且 $a_{0} \neq 0$ ，不妨设 $a_{0}>0$ 。令其左端为 $f(x)$ ，因而 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上连续，且 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=+\infty, \lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=-\infty$ 。从而存在 $a0$ ．由根的存在性定理，$f(x)=0$ 在区间 $[a, b]$ 内至少有一个实根． （3）设 $f(x)=x^{n}+p x+q$ ，则 $f^{\prime}(x)=n x^{n-1}+p=0$ ． 当 $n$ 为偶数时，$n-1$ 为奇数，故方程 $f^{\prime}(x)=n x^{n-1}+p=0$ 至多有一个实根（因为幂函数 $n x^{n-1}+p$ 严格递增），从而方程 $x^{n}+p x+q=0$ 至多有两个实根。 当 $n$ 为奇数时，$n-1$ 为偶数，故由上述证明的关于偶数的结论有：方程 $f^{\prime}(x)=n x^{n-1}+p=0$ 至多有两个实根，从而方程 $x^{n}+p x+q=0$ 当 $n$ 为奇数时至多有三个实根。 （4）设 $f(x)=x^{3}+a x+b$ ，则 $f^{\prime}(x)=3 x^{2}+a>0, f(0)=b>0$ ． 因 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上连续且 $\lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=-\infty$ ，从而存在 $x_{1}<0$ ，使 $f\left(x_{1}\right)<0$ 。在 $\left[x_{1}, 0\right]$ 上应用根的存在性定理，$f(x)=0$ 在区间 $\left[x_{1}, 0\right]$ 内至少有一个实根．又由 $f(x)$ 的严格单调性得方程 $x^{3}+a x+b=0$ 有唯一的负实根。