上册 2.3 函数的零点 第16题
📝 题目
16．证明下列结论．
（1）设 $\displaystyle f(x)=\sin x-\frac{1}{\ln x}$ ，证明 $f(x)$ 在 $[2,+\infty)$ 内有无穷多个零点．
（2）证明方程 $x \mathrm{e}^{x}=2$ 在区间 $(0,1)$ 内有且仅有一个实根．
💡 答案解析
\section*{证明过程：}
（1）$\displaystyle f\left(2 n \pi+\frac{\pi}{2}\right)=1-\frac{1}{\ln \left(2 n \pi+\frac{\pi}{2}\right)}>0, f\left(2 n \pi-\frac{\pi}{2}\right)=-1-\frac{1}{\ln \left(2 n \pi-\frac{\pi}{2}\right)}<0,(n=1,2, \cdots)$ ．
显然，$f(x)$ 在 $[2,+\infty)$ 上连续，由连续函数的介值定理知，存在 $\displaystyle \xi_{n} \in\left(2 n \pi-\frac{\pi}{2}, 2 n \pi+\frac{\pi}{2}\right)$ 使得 $f\left(\xi_{n}\right)=0,(n=1,2, \cdots)$ ，即得 $f(x)$ 在 $[2,+\infty)$ 上有无穷多个零点．
（2）设 $f(x)=x \mathrm{e}^{\mathrm{x}}-2$ ，则 $f(0)=-2<0, f(1)=\mathrm{e}-2>0$ 。由根的存在性定理，方程 $x \mathrm{e}^{x}=2$ 在区间 $(0,1)$ 内有一个实根．又在区间 $(0,1)$ 内 $f^{\prime}(x)=(1+x) \mathrm{e}^{x}>0$ ，所以方程 $x \mathrm{e}^{x}=2$ 在区间 $(0,1)$ 内有且仅有一个实根。
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：构造辅助函数并选取特殊点
对于（1），考虑函数 $f(x)=\sin x-\frac{1}{\ln x}$。选取点列 $x_n=2n\pi+\frac{\pi}{2}$ 和 $y_n=2n\pi-\frac{\pi}{2}$，其中 $n=1,2,\ldots$。计算函数值：$f(x_n)=1-\frac{1}{\ln(2n\pi+\frac{\pi}{2})}>0$，因为 $\ln(2n\pi+\frac{\pi}{2})>1$ 当 $n\ge1$；$f(y_n)=-1-\frac{1}{\ln(2n\pi-\frac{\pi}{2})}<0$，因为 $\ln(2n\pi-\frac{\pi}{2})>0$。
提示：注意 $n$ 从1开始，确保 $y_n\ge2$，因为 $2\pi-\frac{\pi}{2}=\frac{3\pi}{2}>2$。
步骤 2/5
目标：应用介值定理证明零点存在
由于 $f(x)$ 在 $[2,+\infty)$ 上连续，特别地在区间 $[y_n, x_n]$ 上连续。由 $f(y_n)<0$ 和 $f(x_n)>0$，根据连续函数的介值定理，存在 $\xi_n\in(y_n, x_n)$ 使得 $f(\xi_n)=0$。对于每个 $n$，$\xi_n$ 互不相同，因此 $f(x)$ 在 $[2,+\infty)$ 上有无穷多个零点。
公式：介值定理：若 $f$ 在 $[a,b]$ 连续，$f(a)f(b)<0$，则存在 $c\in(a,b)$ 使 $f(c)=0$。
提示：确保区间端点函数值异号，且区间长度不为零。
步骤 3/5
目标：构造方程对应的函数
对于（2），考虑方程 $xe^x=2$，令 $f(x)=xe^x-2$。则 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续。计算端点值：$f(0)=0\cdot e^0-2=-2<0$，$f(1)=1\cdot e^1-2=e-2>0$。
提示：注意 $e\approx2.718$，所以 $e-2>0$。
步骤 4/5
目标：利用零点定理证明根的存在性
由于 $f(0)<0$，$f(1)>0$，且 $f$ 在 $[0,1]$ 上连续，由零点定理（介值定理的推论），存在 $\xi\in(0,1)$ 使得 $f(\xi)=0$，即方程 $xe^x=2$ 在 $(0,1)$ 内至少有一个实根。
公式：零点定理：若 $f$ 在 $[a,b]$ 连续且 $f(a)f(b)<0$，则存在 $c\in(a,b)$ 使 $f(c)=0$。
提示：零点定理要求区间端点函数值异号。
步骤 5/5
目标：证明根的唯一性
计算 $f(x)$ 的导数：$f'(x)=e^x+xe^x=(1+x)e^x$。在区间 $(0,1)$ 内，$1+x>0$，$e^x>0$，所以 $f'(x)>0$。因此 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 上严格单调递增。单调函数至多有一个零点，结合存在性，方程 $xe^x=2$ 在 $(0,1)$ 内有且仅有一个实根。
公式：导数公式：$(xe^x)'=e^x+xe^x$。
提示：注意 $f'(x)>0$ 表明函数严格递增，从而零点唯一。
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