上册 2.3 函数的零点 第17题
📝 题目
17．研究下列方程的实根。
（1）设 $k>0$ ，试问 $k$ 为何值时，方程 $\arctan x-k x=0$ 存在正实根．
（2）设当 $k>0$ 时，方程 $\displaystyle k x+\frac{1}{x^{2}}=1$ 有且仅有一个解，求 $k$ 的取值范围．
（3）讨论曲线 $y=4 \ln x+k$ 与 $y=4 x+\ln ^{4} x$ 的交点的个数，其中 $k$ 为参数．
💡 答案解析
证明过程：
（1）设 $f(x)=\arctan x-k x(k>0)$ ，则 $\displaystyle f(0)=0, f^{\prime}(x)=\frac{1}{1+x^{2}}-k=\frac{-k}{1+x^{2}}\left(x^{2}+\frac{k-1}{k}\right)$ ．
若 $k \geqslant 1$ ，则 $f^{\prime}(x)<0$ ，于是 $f(x)0)$ ，即方程 $\arctan x-k x=0$ 无正实根．
若 $00$ ，当 $\displaystyle x \in\left(\sqrt{\frac{k-1}{k}},+\infty\right)$ 时，$f^{\prime}(x)<0$ 。于 是 $\displaystyle f\left(\sqrt{\frac{k-1}{k}}\right)>f(0)=0$ ．又因为 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=-\infty$ ，可取 $x_{2}>x_{1}$ ，使 $f\left(x_{2}\right)<0$ ，在 $\displaystyle \left[\sqrt{\frac{k-1}{k}}, x_{2}\right]$ 上应用连续函数的介值定理知，当 $00$ ．
当 $k \leqslant 0$ 时，$\displaystyle f^{\prime}(x)=k-\frac{2}{x^{3}}<0, f(x)$ 严格递减， $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)=+\infty, \lim _{x \rightarrow+x} f(x)=\left\{\begin{array}{l}-\infty, k<0, \\ -1, k=0,\end{array}\right.$ 此时
$f(x)=0$ 在 $(0,+\infty)$ 内有唯一的实根．
当 $k>0$ 时，$f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 下凸，且 $\displaystyle x=\sqrt[3]{\frac{2}{k}}$ 是唯一的极小值点．因 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)=+\infty$ ， $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=+\infty$ ，所以当最小值为 0 时，由 $\displaystyle f\left(\sqrt[3]{\frac{2}{k}}\right)=k \sqrt[3]{\frac{2}{k}}+\sqrt[3]{\frac{k^{2}}{4}}-1=0$ 得 $\displaystyle k=\frac{2}{9} \sqrt{3}$ 。所以当 $\displaystyle k=\frac{2}{9} \sqrt{3}$时，$f(x)=0$ 有唯一的实根；当 $\displaystyle k \neq \frac{2}{9} \sqrt{3}$ 时，$f(x)=0$ 无解或有两个解．
综上可知，当 $k \leqslant 0$ 或 $\displaystyle k=\frac{2}{9} \sqrt{3}$ 时，$f(x)=0$ 有唯一的实根．
（3）设 $f(x)=4 x+\ln ^{4} x-4 \ln x-k$ ，则 $\displaystyle f^{\prime}(x)=4+4 \frac{\ln ^{3} x}{x}-\frac{4}{x}, f^{\prime \prime}(x)=4 \frac{3 \ln ^{2} x-\ln ^{3} x+1}{x^{2}}$ ．
由 $f^{\prime}(x)=0$ 得 $x=1$ ．由 $f^{\prime \prime}(1)=4>0$ 知，$x=1$ 为极小值点，也是最小值点，最小值为 $f(1)=4-k$ 。
由于 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)=+\infty, \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=+\infty$ ，所以当 $4-k>0$ 时，$f(x)=0$ 无实根；当 $4-k=0$时，$f(x)=0$ 有一个实根；当 $4-k<0$ 时，在 $(0,1)$ 内 $f(x)=0$ 有一实根，在 $(1,+\infty)$ 内 $f(x)=0$ 有一实根，即在 $(0,+\infty)$ 内 $f(x)=0$ 有两个实根。
📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：构造函数并求导
令 $f(x)=\arctan x - kx$，其中 $k>0$。计算导数：$f'(x)=\frac{1}{1+x^2}-k=\frac{-k}{1+x^2}\left(x^2+\frac{k-1}{k}\right)$。
公式：$f'(x)=\frac{1}{1+x^2}-k$
提示：注意 $f(0)=0$，且 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上连续可导。
步骤 2/8
目标：分类讨论 $k\ge 1$ 的情况
若 $k\ge 1$，则 $f'(x)<0$ 对所有 $x>0$ 成立，因此 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 上严格递减。又 $f(0)=0$，故 $f(x)<0$ 对 $x>0$ 成立，方程无正实根。
提示：注意 $f'(x)$ 的符号由分子 $x^2+\frac{k-1}{k}$ 决定，当 $k\ge 1$ 时分子恒正。
步骤 3/8
目标：分类讨论 $0
若 $00$，$f(x)$ 递增；当 $x>x_0$ 时 $f'(x)<0$，$f(x)$ 递减。因此 $f(x_0)>f(0)=0$。又 $\lim_{x\to +\infty}f(x)=-\infty$，由介值定理，存在 $x_1>x_0$ 使得 $f(x_1)=0$，即方程有正实根。
公式：$x_0=\sqrt{\frac{1-k}{k}}$
提示：注意 $x_0$ 是极大值点，且 $f(x_0)>0$，而 $f(+\infty)=-\infty$，确保有根。
步骤 4/8
目标：构造函数并分析单调性与凸性
令 $f(x)=kx+\frac{1}{x^2}-1$，$x>0$。求导得 $f'(x)=k-\frac{2}{x^3}$，$f''(x)=\frac{6}{x^4}>0$，故 $f(x)$ 是下凸函数。
公式：$f'(x)=k-\frac{2}{x^3}$
提示：注意定义域为 $(0,+\infty)$，且 $f''(x)>0$ 表明函数是凸的。
步骤 5/8
目标：讨论 $k\le 0$ 的情况
若 $k\le 0$，则 $f'(x)<0$，$f(x)$ 严格递减。又 $\lim_{x\to 0^+}f(x)=+\infty$，$\lim_{x\to +\infty}f(x)=\begin{cases}-\infty, & k<0 \\ -1, & k=0\end{cases}$，故 $f(x)=0$ 有唯一实根。
提示：注意 $k=0$ 时极限为 $-1$，但 $f(x)$ 仍单调递减，故有唯一根。
步骤 6/8
目标：讨论 $k>0$ 的情况
若 $k>0$，则 $f'(x)=0$ 得 $x_0=\sqrt[3]{\frac{2}{k}}$ 为唯一极小值点。由于 $\lim_{x\to 0^+}f(x)=+\infty$，$\lim_{x\to +\infty}f(x)=+\infty$，方程有唯一实根当且仅当极小值为零。计算 $f(x_0)=k\sqrt[3]{\frac{2}{k}}+\sqrt[3]{\frac{k^2}{4}}-1=0$，解得 $k=\frac{2}{9}\sqrt{3}$。
公式：$f(x_0)=k\sqrt[3]{\frac{2}{k}}+\sqrt[3]{\frac{k^2}{4}}-1=0$
提示：注意极小值点唯一，且函数值趋于正无穷，故只有极小值为零时才有唯一根。
步骤 7/8
目标：构造函数并求导找极值点
令 $f(x)=4x+\ln^4 x-4\ln x-k$，$x>0$。求导得 $f'(x)=4+\frac{4\ln^3 x}{x}-\frac{4}{x}$。令 $f'(x)=0$ 得 $x=1$。计算二阶导数 $f''(x)=\frac{4(3\ln^2 x-\ln^3 x+1)}{x^2}$，$f''(1)=4>0$，故 $x=1$ 为极小值点，也是最小值点，最小值为 $f(1)=4-k$。
公式：$f'(x)=4+\frac{4\ln^3 x}{x}-\frac{4}{x}$
提示：注意 $f'(x)=0$ 的解为 $x=1$，可通过观察或数值验证。
步骤 8/8
目标：根据最小值讨论交点个数
由于 $\lim_{x\to 0^+}f(x)=+\infty$，$\lim_{x\to +\infty}f(x)=+\infty$，因此：若 $4-k>0$ 即 $k<4$，则 $f(x)>0$ 恒成立，无交点；若 $4-k=0$ 即 $k=4$，则 $f(1)=0$，有一个交点；若 $4-k<0$ 即 $k>4$，则 $f(1)<0$，由连续性知在 $(0,1)$ 和 $(1,+\infty)$ 各有一个零点，共两个交点。
提示：注意 $f(x)$ 是连续函数，且两端趋于正无穷，最小值小于零时必然有两个零点。
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