上册 2.3 函数的零点 第18题
📝 题目
18．研究下列方程的实根。
（1）求 $f(x)=a x-\ln x$ 在 $(0,+\infty)$ 上的极值；求方程 $a x=\ln x$ 有两个正实根的条件。
（2）试研究方程 $a x=\ln x,(a>0)$ 的实根的个数。
💡 答案解析
\section*{证明过程：}
两个问题的解法相同．
设 $f(x)=a x-\ln x$ ，则 $\displaystyle f^{\prime}(x)=a-\frac{1}{x}$ ．易知 $f(x)$ 在 $\displaystyle \left(0, \frac{1}{a}\right)$ 上递减，$f(x)$ 在 $\displaystyle \left(\frac{1}{a},+\infty\right)$ 上递增．于是 $f(x)$ 在 $\displaystyle x=\frac{1}{a}$ 处取得极小值 $\displaystyle f\left(\frac{1}{a}\right)=1+\ln a$ ．
若 $\displaystyle f\left(\frac{1}{a}\right)=1+\ln a>0$ ，即 $\displaystyle a>\frac{1}{\mathrm{e}}, f(x)$ 无零点．
若 $\displaystyle f\left(\frac{1}{a}\right)=1+\ln a<0$ ，即 $\displaystyle 0
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：定义函数并求导
令 $f(x)=a x-\ln x$，定义域为 $(0,+\infty)$。求导得 $f'(x)=a-\frac{1}{x}$。
公式：$f'(x)=a-\frac{1}{x}$
提示：注意定义域为 $x>0$，导数在 $x=0$ 处无定义。
步骤 2/6
目标：确定单调区间
令 $f'(x)=0$，解得 $x=\frac{1}{a}$。当 $0\frac{1}{a}$ 时，$f'(x)>0$，$f(x)$ 单调递增。
提示：注意 $a>0$，所以 $\frac{1}{a}>0$。
步骤 3/6
目标：求极值
因此 $f(x)$ 在 $x=\frac{1}{a}$ 处取得极小值，计算得 $f\left(\frac{1}{a}\right)=a\cdot\frac{1}{a}-\ln\frac{1}{a}=1+\ln a$。
公式：$f\left(\frac{1}{a}\right)=1+\ln a$
提示：注意 $\ln\frac{1}{a}=-\ln a$。
步骤 4/6
目标：分析零点个数与极值符号的关系
考虑 $f(x)$ 的零点即方程 $ax=\ln x$ 的实根。由于 $\lim_{x\to 0^+} f(x)=+\infty$（因为 $-\ln x\to +\infty$），$\lim_{x\to +\infty} f(x)=+\infty$（因为 $ax$ 主导），因此零点个数取决于极小值 $f(1/a)$ 的符号。
提示：注意极限计算：$\lim_{x\to 0^+} \ln x = -\infty$，所以 $-\ln x \to +\infty$。
步骤 5/6
目标：分类讨论零点个数
（1）若 $f(1/a)=1+\ln a>0$，即 $a>\frac{1}{\mathrm{e}}$，则 $f(x)$ 恒正，无零点。
（2）若 $f(1/a)=1+\ln a=0$，即 $a=\frac{1}{\mathrm{e}}$，则 $f(x)$ 有唯一零点 $x=\frac{1}{a}=\mathrm{e}$。
（3）若 $f(1/a)=1+\ln a<0$，即 $0
提示：注意 $a>0$ 是已知条件，$a=\frac{1}{\mathrm{e}}$ 是临界情况。
步骤 6/6
目标：回答具体问题
（1）极值：$f(x)$ 在 $x=\frac{1}{a}$ 处取得极小值 $1+\ln a$。方程 $ax=\ln x$ 有两个正实根的条件是 $00$）的实根个数：当 $a>\frac{1}{\mathrm{e}}$ 时，无实根；当 $a=\frac{1}{\mathrm{e}}$ 时，有一个实根 $x=\mathrm{e}$；当 $0
提示：注意区分问题（1）和（2）的答案。
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