上册 2.3 函数的零点 第19题

\section*{证明过程：} （1）设 $f(x)=\mathrm{e}^{a x}-x=x\left(x^{-1} \mathrm{e}^{a x}-1\right)$ ，显然， $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=+\infty, f(0)=1, f^{\prime}(x)=a \mathrm{e}^{a x}-1$ ． 由于 $\mathrm{e}^{a x}>0$ ，所以在 $x \in(-\infty, 0]$ 上，有 $\mathrm{e}^{a x}>x$ ．这说明 $f(x)$ 没有负实根． 由 $f^{\prime}(x)=a \mathrm{e}^{a x}-1$ 得稳定点 $\displaystyle x_{0}=-\frac{1}{a} \ln a$ ． 情形 1：$a>1$ 。此时 $x_{0}<0$ 。当 $x_{0}0, f(x)$ 在 $\left[x_{0},+\infty\right)$ 上严格单调递增。当 $x>0$ 时，$f(x)>f(0)=1$ ，此时， $\mathrm{e}^{a x}=x$ 无正实根。 情形 2： $00$ ．因 $f(x)$ 在 $\left[x_{0},+\infty\right)$ 上严格单调递增，在 $\left[0, x_{0}\right]$ 上严格单调递减，故 $f(x)$ 在 $x_{0}$ 处达到最小值， $$ f\left(x_{0}\right)=\mathrm{e}^{a\left(-\frac{1}{a} \ln a\right)}-\left(-\frac{1}{a} \ln a\right)=\frac{1}{a}+\frac{1}{a} \ln a=\frac{1}{a}(1+\ln a) $$ 故 当 $\displaystyle a=\frac{1}{\mathrm{e}}$ 时，$f\left(x_{0}\right)=0, f(x)$ 有 唯 一 的 正 实 根；当 $\displaystyle a>\frac{1}{\mathrm{e}}$ 时，$f(x)$ 无 正 实 根；当 $\displaystyle 00, f(x)$ 在 $\displaystyle \left(\frac{1}{\mathrm{e}},+\infty\right)$ 上单调递增．故 $f(x)$ 在 $\displaystyle x=\frac{1}{\mathrm{e}}$ 处达到最小值，$\displaystyle f\left(\frac{1}{\mathrm{e}}\right)=-\frac{1}{\mathrm{e}}+a$ ． 当 $\displaystyle a=\frac{1}{\mathrm{e}}$ 时，$f(x)=0$ 在 $(0,+\infty)$ 内有唯一的实根 $\displaystyle x=\frac{1}{\mathrm{e}}$ ． 当 $\displaystyle 0\frac{1}{\mathrm{e}}$ 时，$f(x)=0$ 在 $(0,+\infty)$ 内无实根． （3）令 $f(x)=a x^{2}-\ln x$ ，则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)=a, \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=+\infty, f^{\prime}(x)=2 a x-\frac{1}{x}$ ． 由 $\displaystyle f^{\prime}(x)=2 a x-\frac{1}{x}=0$ ，得 $\displaystyle x=\frac{1}{\sqrt{2 a}}$ ．由 $\displaystyle f^{\prime \prime}(x)=2 a+\frac{1}{x^{2}}>0$ 知，$\displaystyle x=\frac{1}{\sqrt{2 a}}$ 为极小值点，也是最小值点，最小值为 $\displaystyle f\left(\frac{1}{\sqrt{2 a}}\right)=a \frac{1}{2 a}-\ln \frac{1}{\sqrt{2 a}}=\frac{1}{2}+\ln \sqrt{2 a}$ ． 又由于 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} f(x)=+\infty, \lim _{x \rightarrow+x} f(x)=+\infty$ ，所以： 当 $\displaystyle \frac{1}{2}+\ln \sqrt{2 a}>0$ ，即 $\displaystyle a>\frac{1}{2 \mathrm{e}}$ 时，$f(x)=0$ 无实根． 当 $\displaystyle \frac{1}{2}+\ln \sqrt{2 a}=0$ ，即 $\displaystyle a=\frac{1}{2 \mathrm{e}}$ 时，$f(x)=0$ 有一个实根． 当 $\displaystyle \frac{1}{2}+\ln \sqrt{2 a}<0$ ，即 $\displaystyle a<\frac{1}{2 \mathrm{e}}$ 时，在 $\displaystyle \left(0, \frac{1}{\sqrt{2 a}}\right)$ 内 $f(x)=0$ 有一实根，在 $\displaystyle \left(\frac{1}{\sqrt{2 a}},+\infty\right)$ 内 $f(x)=0$ 有 一实根，即在 $(0,+\infty)$ 内 $f(x)=0$ 有两个实根。