上册 2.3 函数的零点 第20题
📝 题目
20．证明下列结论．
（1）设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上可积，且 $f(x) \geqslant c>0$ ．又 $F(x)=\int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t-\int_{x}^{b} f(t) \mathrm{d} t$ ．证明：$F(x)=0$ 在 （ $a, b$ ）上有且仅有一个实根．
（2）设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，且 $f(x) \neq 0$ 。证明：方程 $\displaystyle \int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t+\int_{b}^{x} \frac{\mathrm{~d} t}{f(t)}=0$ 在 $[a, b]$ 上有唯一实根．
（3）设 $f(x)$ 为 $[a, b]$ 上的连续函数，$f(x)>0$ 。令 $\displaystyle F(x)=\int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t+\int_{b}^{x} \frac{1}{f(t)} \mathrm{d} t$ 。证明：$F^{\prime}(x) \geqslant 2$且 $F(x)=0$ 在 $[a, b]$ 上仅有一个实根．
（4）设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，且 $f(x)>0$ ．又 $\displaystyle F(x)=\int_{\frac{x}{2}}^{1} f(t) \mathrm{d} t-\int_{0}^{\frac{x}{2}} \frac{1}{f(t)} \mathrm{d} t$ ．证明：$F(x)=0$ 在 $(0,2)$ 上有且仅有一个实根．
（5）设对任意 $A>0, f(x)$ 在 $[0, A]$ 上可积，且 $\int_{0}^{+x} f(x) \mathrm{d} x \neq 0$ 收敛．又对 $x>0$ ， $\varphi(x)=\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t-\int_{x}^{+\infty} f(t) \mathrm{d} t$ ．证明：$\varphi(x)=0$ 在 $(0,+\infty)$ 内至少有一个实根．
（6）设 $f(x)$ 为 $[0,1]$ 上的正值连续函数．证明：方程 $\displaystyle \frac{1}{f(x)} \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t=\frac{\int_{0}^{1-x} f(t) \mathrm{d} t}{f(1-x)}$ 在 $(0,1)$ 至少有一个实根．
💡 答案解析
\section*{证明过程：}
（1）$F(a)=\int_{a}^{a} f(t) \mathrm{d} t-\int_{a}^{b} f(t) \mathrm{d} t=-\int_{a}^{b} f(t) \mathrm{d} t<0, F(b)=\int_{a}^{b} f(t) \mathrm{d} t-\int_{b}^{b} f(t) \mathrm{d} t=\int_{a}^{b} f(t) \mathrm{d} t>0$ ．由连续函数的零点定理，$F(x)=0$ 在 $(a, b)$ 上有一个实根。
$\forall x_{1}, x_{2} \in[a, b]$ ，不妨设 $x_{1}>x_{2}$ ，则 $F\left(x_{1}\right)-F\left(x_{2}\right)=2 \int_{x_{2}}^{x_{1}} f(t) \mathrm{d} t \geqslant 2 c\left(x_{1}-x_{2}\right)>0 . F(x)$ 在 $[a, b]$ 上严格增加，所以 $F(x)=0$ 在 $(a, b)$ 上有且仅有一个实根。
（2）若 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，且 $f(x) \neq 0$ ，则在 $[a, b]$ 上 $f(x)$ 恒大于零或恒小于零．
事实上，若 $\exists x_{1}, x_{2} \in[a, b]$（不妨设 $x_{1}0$ 。则 $\exists \xi \in\left(x_{1}, x_{2}\right)$ ，使得 $f(\xi)=0$ ．但这与已知条件相矛盾．不妨设在 $[a, b]$ 上 $f(x)$ 恒大于零．
令 $\displaystyle F(x)=\int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t+\int_{b}^{x} \frac{\mathrm{~d} t}{f(t)}, x \in[a, b]$ ，则 $F(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，并且
$$
F(a)=\int_{a}^{a} f(t) \mathrm{d} t+\int_{b}^{a} \frac{\mathrm{~d} t}{f(t)}=-\int_{a}^{b} \frac{\mathrm{~d} t}{f(t)}<0, F(b)=\int_{a}^{b} f(t) \mathrm{d} t+\int_{b}^{b} \frac{\mathrm{~d} t}{f(t)}=\int_{a}^{b} f(t) \mathrm{d} t>0
$$
由连续函数的零点定理，$\exists \xi \in(a, b)$ ，使得 $F(\xi)=0$ ，即 $x=\xi$ 是方程 $\displaystyle \int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t+\int_{b}^{x}-\frac{\mathrm{d} t}{f(t)}=0$ 在 $[a, b]$上的根．
又当 $x \in[a, b]$ 时，有 $\displaystyle F^{\prime}(x)=f(x)+\frac{1}{f(x)} \geqslant 2$ ，从而 $F(x)$ 在 $[a, b]$ 上严格增加．因此 $x=\xi$ 是方程 $\displaystyle \int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t+\int_{b}^{x} \frac{\mathrm{~d} t}{f(t)}=0$ 在 $[a, b]$ 上的唯一实根．
（3）由 $f(x)>0$ 得 $\displaystyle F(b)=\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x>0, F(a)=\int_{b}^{a} \frac{1}{f(x)} \mathrm{d} x=-\int_{a}^{b} \frac{1}{f(x)} \mathrm{d} x<0$ 。由连续函数的零点定理，知 $F(x)=0$ 在 $[a, b]$ 上至少有一根．
又由 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续得 $F(x)$ 在 $[a, b]$ 可导，且由 $f(x)>0$ 得 $\displaystyle F^{\prime}(x)=f(x)+\frac{1}{f(x)} \geqslant 2$ 。所以 $F(x)$ 在 $[a, b]$ 上严格单调递增，从而 $F(x)=0$ 在 $[a, b]$ 上仅有一个实根．
（4）$\displaystyle F(0)=\int_{0}^{1} f(t) \mathrm{d} t>0, F(2)=-\int_{0}^{1} \frac{1}{f(t)} \mathrm{d} t<0$ ．由连续函数的零点定理知 $F(x)=0$ 在 $[0,2]$ 上至少有一根．
又由 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，知 $F(x)$ 在 $[0,2]$ 可导．由 $f(x)>0$ 得
$$
F^{\prime}(x)=-\frac{1}{2} f\left(\frac{x}{2}\right)-\frac{1}{2} \frac{1}{f\left(\frac{x}{2}\right)}<0
$$
所以 $F(x)$ 在 $[a, b]$ 上严格单调递减．于是 $F(x)=0$ 在 $(0,2)$ 上有且仅有一个实根．
（5）$\varphi(x)=\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t-\left(\int_{0}^{+x} f(t) \mathrm{d} t-\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t\right)=2 \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t-\int_{0}^{+\infty} f(t) \mathrm{d} t$,
所以 $\lim _{x \rightarrow+x} \varphi(x)=\int_{0}^{+\infty} f(t) \mathrm{d} t, \varphi(0)=-\int_{0}^{+x} f(t) \mathrm{d} t$ ．利用推广的介值定理，$\varphi(x)=0$ 在 $(0,+\infty)$ 内至少有一个实根。
（6）设 $F(x)=f(1-x) \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t-f(x) \int_{0}^{1-x} f(t) \mathrm{d} t$ ，则 $F(x)$ 为 $[0,1]$ 上连续函数，且
$$
F(0)=-f(0) \int_{0}^{1} f(t) \mathrm{d} t, F(1)=f(0) \int_{0}^{1} f(t) \mathrm{d} t
$$
由零点定理，$F(x)=0$ 在 $(0,1)$ 至少有一个实根，故 $\displaystyle \frac{1}{f(x)} \int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t=\frac{\int_{0}^{1-x} f(t) \mathrm{d} t}{f(1-x)}$ 在 $(0,1)$ 至少有一个实根。
📋 详细解题步骤
步骤 1/9
目标：证明(1)中F(x)在端点异号
计算$F(a)$和$F(b)$：
$F(a)=\int_a^a f(t)dt - \int_a^b f(t)dt = -\int_a^b f(t)dt$，由于$f(x)\ge c>0$，故$\int_a^b f(t)dt >0$，所以$F(a)<0$。
$F(b)=\int_a^b f(t)dt - \int_b^b f(t)dt = \int_a^b f(t)dt >0$。
因此$F(a)F(b)<0$，由零点定理，存在至少一个根。
公式：$F(a)= -\int_a^b f(t)dt$, $F(b)=\int_a^b f(t)dt$
提示：注意积分上下限，$\int_a^a=0$，$\int_b^b=0$。
步骤 2/9
目标：证明(1)中F(x)严格单调
对任意$x_1,x_2\in[a,b]$且$x_1>x_2$，有
$F(x_1)-F(x_2)=2\int_{x_2}^{x_1}f(t)dt \ge 2c(x_1-x_2)>0$，故$F(x)$严格递增，因此根唯一。
公式：$F(x_1)-F(x_2)=2\int_{x_2}^{x_1}f(t)dt$
提示：利用$f(t)\ge c>0$得到积分下界。
步骤 3/9
目标：证明(2)中f(x)恒正或恒负
假设$f(x)$在$[a,b]$上连续且$f(x)\neq 0$，若存在两点函数值异号，由介值定理存在零点，矛盾。故$f(x)$恒正或恒负。不妨设$f(x)>0$。
公式：介值定理
提示：注意$f(x)\neq 0$意味着处处非零，但可能变号，需用介值定理排除。
步骤 4/9
目标：证明(2)中方程根的存在性
令$F(x)=\int_a^x f(t)dt + \int_b^x \frac{dt}{f(t)}$，则$F(a)=-\int_a^b \frac{dt}{f(t)}<0$，$F(b)=\int_a^b f(t)dt>0$，由零点定理存在根。
公式：$F(a)=-\int_a^b \frac{1}{f(t)}dt$, $F(b)=\int_a^b f(t)dt$
提示：注意第二个积分上限是$x$，下限是$b$，当$x=a$时积分反向。
步骤 5/9
目标：证明(2)中根的唯一性
求导得$F'(x)=f(x)+\frac{1}{f(x)}\ge 2>0$，故$F(x)$严格递增，根唯一。
公式：$F'(x)=f(x)+\frac{1}{f(x)}\ge 2$
提示：利用均值不等式$f+1/f\ge 2$。
步骤 6/9
目标：证明(3)中根的存在性和唯一性
类似(2)，$F(b)=\int_a^b f(x)dx>0$，$F(a)=-\int_a^b \frac{1}{f(x)}dx<0$，由零点定理存在根。又$F'(x)=f(x)+\frac{1}{f(x)}\ge 2>0$，严格递增，故根唯一。
公式：$F'(x)=f(x)+\frac{1}{f(x)}\ge 2$
提示：注意$F(x)$定义中第二个积分上限是$x$，下限是$b$。
步骤 7/9
目标：证明(4)中根的存在性和唯一性
计算端点值：$F(0)=\int_0^1 f(t)dt>0$，$F(2)=-\int_0^1 \frac{1}{f(t)}dt<0$，由零点定理存在根。求导：$F'(x)=-\frac{1}{2}f(\frac{x}{2})-\frac{1}{2}\frac{1}{f(\frac{x}{2})}<0$，严格递减，故根唯一。
公式：$F'(x)=-\frac{1}{2}\left(f(\frac{x}{2})+\frac{1}{f(\frac{x}{2})}\right)<0$
提示：注意求导时使用莱布尼茨公式，积分限含$x$。
步骤 8/9
目标：证明(5)中根的存在性
改写$\varphi(x)=2\int_0^x f(t)dt - \int_0^{+\infty} f(t)dt$。则$\varphi(0)=-\int_0^{+\infty} f(t)dt<0$，$\lim_{x\to +\infty}\varphi(x)=\int_0^{+\infty} f(t)dt>0$（因为积分收敛且非零）。由推广的介值定理，存在根。
公式：$\varphi(x)=2\int_0^x f(t)dt - \int_0^{+\infty} f(t)dt$
提示：注意极限存在且与端点值异号。
步骤 9/9
目标：证明(6)中根的存在性
设$F(x)=f(1-x)\int_0^x f(t)dt - f(x)\int_0^{1-x} f(t)dt$，则$F(0)=-f(0)\int_0^1 f(t)dt<0$，$F(1)=f(0)\int_0^1 f(t)dt>0$，由零点定理存在根。原方程等价于$F(x)=0$。
公式：$F(x)=f(1-x)\int_0^x f(t)dt - f(x)\int_0^{1-x} f(t)dt$
提示：注意$f(1-x)$和$f(x)$均为正。
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