上册 2.3 函数的零点 第21题

\section*{证明过程：} （1）令 $F(x)=\int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t-\int_{x}^{b} f(t) \mathrm{d} t$ ，则 $F(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，且 $$ F(a)=-\int_{a}^{b} f(t) \mathrm{d} t, F(b)=\int_{a}^{b} f(t) \mathrm{d} t, F(a) F(b) \leqslant 0 $$ 由连续函数的介值定理，存在 $c \in[a, b]$ ，使得 $F(c)=0$ ，即 $\int_{a}^{c} f(x) \mathrm{d} x=\int_{c}^{b} f(x) \mathrm{d} x$ ． （2）记 $F(\alpha)=\int_{\alpha}^{\alpha+1} f(x) \mathrm{d} x$ ，则 $F(\alpha)=\int_{\alpha}^{\alpha+1} f(x) \mathrm{d} x$ 在 $[0,1]$ 上连续。 $F(0)=\int_{0}^{1} f(x) \mathrm{d} x$ ， $F(1)=\int_{1}^{2} f(x) \mathrm{d} x$ ．由 $\int_{0}^{2} f(x) \mathrm{d} x=0$ 得 $F(0)+F(1)=0$ ．于是 $F(0) \cdot F(1) \leqslant 0$ ，由介值定理得证。 （3）这是积分中值定理．见数学分析教材． （4）这是积分第二中值定理．见数学分析教材． （5）不妨设 $g(x) \geqslant 0, x \in[a, b]$（否则可转为证 $-g(x)$ ）． 因 $m \leqslant f(x) \leqslant M, x \in[a, b]$ ，所以 $m g(x) \leqslant f(x) g(x) \leqslant M g(x), x \in[a, b]$ ．由定积分的不等式性质得 $$ m \int_{a}^{b} g(x) \mathrm{d} x \leqslant \int_{a}^{b} f(x) g(x) \mathrm{d} x \leqslant M \int_{a}^{b} g(x) \mathrm{d} x . $$ 若 $\int_{a}^{b} g(x) \mathrm{d} x=0$ ，则由上式知 $\int_{a}^{b} f(x) g(x) \mathrm{d} x=0$ ，从而对 $\mu \in[m, M]$ ，均有 $$ \int_{a}^{b} f(x) g(x) \mathrm{d} x=\mu \int_{a}^{b} g(x) \mathrm{d} x $$ 若 $\int_{a}^{b} g(x) \mathrm{d} x>0$ ，则 $\displaystyle m \leqslant \frac{\int_{a}^{b} f(x) g(x) \mathrm{d} x}{\int_{a}^{b} g(x) \mathrm{d} x} \leqslant M$ ，令 $\displaystyle \mu=\frac{\int_{a}^{b} f(x) g(x) \mathrm{d} x}{\int_{a}^{b} g(x) \mathrm{d} x}$ ，则 $$ m \leqslant \mu \leqslant M \text {, 且 } \int_{a}^{b} f(x) g(x) \mathrm{d} x=\mu \int_{a}^{b} g(x) \mathrm{d} x \text {. } $$ （6）由 $f(x)$ 在 $[0, \pi]$ 。连续得 $\min _{[0, \pi]} f(x) \leqslant f(x) \leqslant \max _{[0, \pi]} f(x)$ 。于是 $$ \min _{[0, \pi]} f(x) \cdot \sin x \leqslant f(x) \cdot \sin x \leqslant \max _{[0, \pi]} f(x) \cdot \sin x . $$ 积分得 $$ \min _{[0, \pi]} f(x) \int_{0}^{\pi} \sin x \mathrm{~d} x \leqslant \int_{0}^{\pi} f(x) \sin x \mathrm{~d} x \leqslant \max _{[0, \pi]} f(x) \int_{0}^{\pi} \sin x \mathrm{~d} x, $$ 即 $$ \min _{[0, \pi]} f(x) \leqslant \frac{1}{2} \int_{0}^{\pi} f(x) \sin x \mathrm{~d} x \leqslant \max _{[0, \pi]} f(x) $$ 由介值定理存在，$\xi \in[0, \pi]$ ，使得 $2 f(\xi)=\int_{0}^{\pi} f(x) \sin x \mathrm{~d} x$ ． （7）记 $F(x)=\int_{a}^{b} f(t) g(t) \mathrm{d} t-g(a) \int_{a}^{x} f(t) \mathrm{d} t-g(b) \int_{x}^{b} f(t) \mathrm{d} t$ ，则 $$ \begin{aligned} & F(a)=\int_{a}^{b} f(t) g(t) \mathrm{d} t-g(b) \int_{a}^{b} f(t) \mathrm{d} t=\int_{a}^{b} f(t)[g(t)-g(b)] \mathrm{d} t \leqslant 0, \\ & F(b)=\int_{a}^{b} f(t) g(t) \mathrm{d} t-g(a) \int_{a}^{b} f(t) \mathrm{d} t=\int_{a}^{b} f(t)[g(t)-g(a)] \mathrm{d} t \geqslant 0 . \end{aligned} $$ 若 $F(a)=0$ ，取 $\xi=a$ ，若 $F(b)=0$ ，取 $\xi=b$ 。否则，由介值定理，存在 $\xi \in(a, b)$ 使 $F(\xi)=0$ ，即 $$ \int_{a}^{b} f(x) g(x) \mathrm{d} x=g(a) \int_{a}^{\xi} f(x) \mathrm{d} x+g(b) \int_{\xi}^{b} f(x) \mathrm{d} x $$ （8）记 $\displaystyle f(t)=\int_{\frac{1}{n}}^{1} \frac{\sin x}{x} \mathrm{~d} x-\int_{t}^{1} \frac{x}{\sin x} \mathrm{~d} x$ ，则 $$ f^{\prime}(t)=\frac{\sin t}{t}+\frac{t}{\sin t} \geqslant 2 \text {, 且 } f(1)=\int_{\frac{1}{n}}^{1} \frac{\sin x}{x} \mathrm{~d} x>0, f\left(\frac{1}{n}\right)=-\int_{\frac{1}{n}}^{1} \frac{x}{\sin x} \mathrm{~d} x<0 \text {. } $$ 由介值定理，存在 $\displaystyle x_{n} \in\left(\frac{1}{n}, 1\right)$ ，使得 $f\left(x_{n}\right)=0$ ，即 $\displaystyle \int_{\frac{1}{n}}^{x_{n}} \frac{\sin x}{x} \mathrm{~d} x=\int_{x_{n}}^{1} \frac{x}{\sin x} \mathrm{~d} x$ 。易见 $\left\{x_{n}\right\}$ 有界。 $$ \begin{aligned} f\left(x_{n+1}\right)-f\left(x_{n}\right) & =\left(\int_{\frac{1}{n+1}}^{x_{n-1}} \frac{\sin x}{x} \mathrm{~d} x-\int_{x_{n+1}}^{1} \frac{x}{\sin x} \mathrm{~d} x\right)-\left(\int_{\frac{1}{n}}^{x_{n}} \frac{\sin x}{x} \mathrm{~d} x-\int_{x_{n}}^{1} \frac{x}{\sin x} \mathrm{~d} x\right) \\ & =\int_{\frac{1}{n+1}}^{x_{n+1}} \frac{\sin x}{x} \mathrm{~d} x-\int_{\frac{1}{n}}^{x_{n}} \frac{\sin x}{x} \mathrm{~d} x+\int_{x_{n}}^{1} \frac{x}{\sin x} \mathrm{~d} x-\int_{x_{n+1}}^{1} \frac{x}{\sin x} \mathrm{~d} x \\ & =-\int_{\frac{1}{n+1}}^{\frac{1}{n}} \frac{\sin x}{x} \mathrm{~d} x-\int_{x_{n+1}}^{x_{n}}\left(\frac{x}{\sin x}+\frac{\sin x}{x}\right) \mathrm{d} x<0 \end{aligned} $$ 由于 $f(t)$ 严格单调递增，所以 $x_{n}>x_{n+1}$ ，即数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 单调减少，所以数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 收玫。