上册 2.3 函数的零点 第23题
📝 题目
23．证明下列结论．
（1）设函数 $f(x)$ 在 $[0, \pi]$ 上连续，在 $(0, \pi)$ 可导，且 $\int_{0}^{\pi} f(x) \sin x \mathrm{~d} x=0, \int_{0}^{\pi} f(x) \cos x \mathrm{~d} x=0$ ．证明：在 $(0, \pi)$ 内存在 $\xi$ ，使得 $f^{\prime}(\xi)=0$ ．
（2）设函数 $f(x)$ 在 $[0, \pi]$ 上连续，且 $\int_{0}^{\pi} f(x) \mathrm{d} x=0, \int_{0}^{\pi} f(x) \cos x \mathrm{~d} x=0$ ．证明：在 $(0, \pi)$ 内至少存在两个不同的点 $\xi_{1}, \xi_{2}$ ，使得 $f\left(\xi_{1}\right)=f\left(\xi_{2}\right)$ ．
💡 答案解析
\section*{证明过程：}
（1）若 $f(x) \equiv 0$ ，则结论成立．不妨设 $f(x) \not \equiv 0$ ．
由 $\int_{0}^{\pi} f(x) \sin x \mathrm{~d} x=0$ 知，$\exists x_{0} \in(0, \pi)$ ，使得 $f\left(x_{0}\right) \sin x_{0}=0$ ．因为 $\sin x>0, x \in(0, \pi)$ ，所以 $f\left(x_{0}\right)=0$ ．
假设 $f(x)$ 在 $[0, \pi]$ 上只有一个零点 $x_{0}$ ，则 $f(x)$ 在 $\left(0, x_{0}\right)$ 与 $\left(x_{0}, \pi\right)$ 内异号，而在 $\left(0, x_{0}\right)$ 与 $\left(x_{0}, \pi\right)$ 内不变号。因而 $f(x) \sin \left(x-x_{0}\right)$ 在 $(0, \pi)$ 内不变号。于是 $\int_{0}^{\pi} f(x) \sin \left(x-x_{0}\right) \mathrm{d} x \neq 0$ ．
另一方面，
$$
\begin{aligned}
\int_{0}^{\pi} f(x) \sin \left(x-x_{0}\right) \mathrm{d} x & =\int_{0}^{\pi} f(x) \sin x \cos x_{0} \mathrm{~d} x-\int_{0}^{\pi} f(x) \cos x \sin x_{0} \mathrm{~d} x \\
& =\cos x_{0} \int_{0}^{\pi} f(x) \sin x \mathrm{~d} x-\sin x_{0} \int_{0}^{\pi} f(x) \cos x \mathrm{~d} x=0
\end{aligned}
$$
矛盾。因此 $f(x)$ 在 $[0, \pi]$ 上还有异于 $x_{0}$ 的零点．故 $f(x)$ 在 $(0, \pi)$ 内至少存在两个不同的点．由罗尔定理得在 $(0, \pi)$ 内存在 $\xi$ ，使得 $f^{\prime}(\xi)=0$ 。
（2）令 $F(x)=\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t, 0 \leqslant x \leqslant \pi$ ．则 $F(x)$ 在 $[0, \pi]$ 上连续可导，且 $F(0)=F(\pi)=0$ ．
$$
\int_{0}^{\pi} F(x) \sin x \mathrm{~d} x=-\int_{0}^{\pi} F(x) \mathrm{d} \cos x=-\left.F(x) \cos x\right|_{0} ^{\pi}+\int_{0}^{\pi} f(x) \cos x \mathrm{~d} x=\int_{0}^{\pi} f(x) \cos x \mathrm{~d} x=0
$$
由中值定理，存在 $x_{0} \in[0, \pi]$ ，使 $F\left(x_{0}\right)=0$ 。在 $\left[0, x_{0}\right],\left[x_{0}, \pi\right]$ 上应用罗尔定理，$\exists \xi_{1} \in\left(0, x_{0}\right)$ ， $\exists \xi_{2} \in\left(x_{0}, \pi\right)$ ，使得 $F^{\prime}\left(\xi_{1}\right)=F^{\prime}\left(\xi_{2}\right)=0$ ，即 $f\left(\xi_{1}\right)=f\left(\xi_{2}\right)=0$ 。
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：处理平凡情况并找到第一个零点
若 $f(x) \equiv 0$，则结论显然成立。否则，$f(x) \not\equiv 0$。由 $\int_0^\pi f(x)\sin x\,dx=0$ 及积分中值定理，存在 $x_0\in(0,\pi)$ 使得 $f(x_0)\sin x_0=0$。由于 $\sin x>0$ 在 $(0,\pi)$ 上，故 $f(x_0)=0$。
公式：积分中值定理：$\int_a^b g(x)\,dx = g(\xi)(b-a)$
提示：注意 $\sin x$ 在 $(0,\pi)$ 上恒正，因此零点由 $f$ 产生。
步骤 2/7
目标：反证法假设只有一个零点并构造矛盾
假设 $f(x)$ 在 $[0,\pi]$ 上只有一个零点 $x_0$，则 $f(x)$ 在 $(0,x_0)$ 和 $(x_0,\pi)$ 内异号，且各自区间内不变号。因此 $f(x)\sin(x-x_0)$ 在 $(0,\pi)$ 内不变号，从而 $\int_0^\pi f(x)\sin(x-x_0)\,dx \neq 0$。
提示：注意 $\sin(x-x_0)$ 在 $x_0$ 两侧符号相反，但乘以 $f(x)$ 后整体符号不变。
步骤 3/7
目标：利用已知积分条件计算矛盾式
另一方面，利用三角恒等式展开：
$$
\begin{aligned}
\int_0^\pi f(x)\sin(x-x_0)\,dx &= \int_0^\pi f(x)(\sin x\cos x_0 - \cos x\sin x_0)\,dx \\
&= \cos x_0\int_0^\pi f(x)\sin x\,dx - \sin x_0\int_0^\pi f(x)\cos x\,dx = 0.
\end{aligned}
$$
这与 $\int_0^\pi f(x)\sin(x-x_0)\,dx \neq 0$ 矛盾。
公式：$\sin(a-b)=\sin a\cos b-\cos a\sin b$
提示：注意利用已知条件 $\int f\sin=0$ 和 $\int f\cos=0$。
步骤 4/7
目标：得出至少两个零点并应用罗尔定理
因此假设不成立，$f(x)$ 在 $(0,\pi)$ 内至少有两个不同的零点。设这两个零点为 $a,b$，则 $f(a)=f(b)=0$。由罗尔定理，存在 $\xi\in(a,b)\subset(0,\pi)$ 使得 $f'(\xi)=0$。
公式：罗尔定理：若 $f(a)=f(b)$，则存在 $\xi\in(a,b)$ 使 $f'(\xi)=0$
提示：注意零点可能多于两个，但只需两个即可应用罗尔定理。
步骤 5/7
目标：第二问：构造辅助函数并利用已知条件
令 $F(x)=\int_0^x f(t)\,dt$，则 $F(0)=0$，且由 $\int_0^\pi f(x)\,dx=0$ 得 $F(\pi)=0$。计算 $\int_0^\pi F(x)\sin x\,dx$：
$$
\begin{aligned}
\int_0^\pi F(x)\sin x\,dx &= -\int_0^\pi F(x)\,d\cos x \\
&= -\left[F(x)\cos x\right]_0^\pi + \int_0^\pi f(x)\cos x\,dx \\
&= 0 + 0 = 0.
\end{aligned}
$$
这里用到了 $\int_0^\pi f(x)\cos x\,dx=0$。
公式：分部积分：$\int u\,dv = uv - \int v\,du$
提示：注意 $F(\pi)=0$ 和 $F(0)=0$，边界项为零。
步骤 6/7
目标：应用第一问结论于F(x)得到零点
由第一问结论，$F(x)$ 满足 $\int_0^\pi F(x)\sin x\,dx=0$ 且 $\int_0^\pi F(x)\cos x\,dx = ?$ 实际上，我们还需要验证 $\int_0^\pi F(x)\cos x\,dx=0$。但注意，由 $F(0)=F(\pi)=0$ 和 $\int_0^\pi f(x)\cos x\,dx=0$，通过分部积分可得 $\int_0^\pi F(x)\cos x\,dx = -\int_0^\pi f(x)\sin x\,dx$，但题目未给出 $\int f\sin=0$。然而，我们不需要直接应用第一问，而是利用 $F(0)=F(\pi)=0$ 和 $\int_0^\pi F(x)\sin x\,dx=0$ 推出 $F$ 在 $(0,\pi)$ 内至少有一个零点 $x_0$（由积分中值定理或类似推理）。实际上，由 $\int_0^\pi F(x)\sin x\,dx=0$ 且 $\sin x>0$ 在 $(0,\pi)$ 上，可知 $F(x)$ 在 $(0,\pi)$ 内变号或恒为零，从而存在零点。更严格地，若 $F(x)$ 恒正或恒负，则积分不为零，故存在 $x_0$ 使 $F(x_0)=0$。
提示：注意这里不需要第一问的全部条件，只需 $\int F\sin=0$ 和 $\sin>0$ 即可得零点。
步骤 7/7
目标：在子区间上应用罗尔定理得到两个点
由于 $F(0)=F(x_0)=F(\pi)=0$，在区间 $[0,x_0]$ 和 $[x_0,\pi]$ 上分别应用罗尔定理，存在 $\xi_1\in(0,x_0)$，$\xi_2\in(x_0,\pi)$ 使得 $F'(\xi_1)=0$，$F'(\xi_2)=0$。而 $F'(x)=f(x)$，故 $f(\xi_1)=f(\xi_2)=0$，从而 $f(\xi_1)=f(\xi_2)$。
公式：罗尔定理
提示：注意 $\xi_1$ 和 $\xi_2$ 是不同的点，因为区间不重叠。
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