上册 2.3 函数的零点 第24题

\section*{证明过程：} （1）若 $\forall x \in(0,1), f(x) \equiv 0$ ，结论成立． 若 $\exists c \in(0,1)$ 使 $f(c)>0$ 。令 $F(x)=f(x)-\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ ，则 $$ F(0)=f(0) \geqslant 0, F(1)=f(1)-\int_{0}^{1} f(t) \mathrm{d} t=-\int_{0}^{1} f(t) \mathrm{d} t<0 $$ 当 $F(0)=f(0)>0$ 时，根据介值定理，在 $[0,1]$ 内至少存在一点 $\xi$ 使得 $\int_{0}^{\xi} f(x) \mathrm{d} x=f(\xi)$ ． 当 $f(0)=0$ 时，取 $\eta=\inf \{x \mid f(x)>0\}$ ，则 $\exists 00$ 知，$\forall x \in(0,1), f(x) \leqslant x f(0)+(1-x) f(1)$ ．因此 $f(0)>0, f(1)>0$（否则 $f(x) \leqslant 0$ ）．函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上有最小值，且 $\min f(x)=f(c)<0$ ．由介值定理，函数 $f(x)$ 在 $[0, c]$ 及 $[c, 1]$ 至少有一个根． 由 $f^{\prime}(c)=0$ ，则 当 $\forall x \in(0, c)$ 时，$f^{\prime}(0)f^{\prime}(x)>f^{\prime}(c)=0$ ，函数 $f(x)$ 在 $[c, 1]$ 单调增加． 故函数 $f(x)$ 在 $[0, c]$ 及 $[c, 1]$ 都只有一个根，从而 $f(x)$ 在 $(0,1)$ 内恰有两个零点． 下证：在 $(0,1)$ 内至少存在一点 $\xi$ 使 $\int_{0}^{\xi} f(x) \mathrm{d} x=f^{\prime}(\xi)$ ． 令 $F(x)=\int_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t-f^{\prime}(x)$ ，则 $F(0)=-f^{\prime}(0)>0, F(1)=\int_{0}^{1} f(t) \mathrm{d} t-f^{\prime}(1)=-f^{\prime}(1)<0$ ，由令点定理得证． （3）由 $\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=0$ 知，函数 $f(x)$ 变号．由 $f^{\prime \prime}(x)>0$ 知，$\displaystyle \forall x \in(a, b), f(x) \leqslant \frac{x-a}{b-a} f(a)+\frac{b-x}{b-a} f(b)$ ，因此 $f(a)>0, f(b)>0$（否则 $f(x) \leqslant 0$ ）．函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 个有最小值且 $\min f(x)=f(c)<0$ ．由介值定理，函数 $f(x)$ 在 $[a, c]$ 及 $[c, b]$ 至少有一个根． 由 $f^{\prime}(c)=0$ ，则 当 $\forall x \in(a, c)$ 时，$f^{\prime}(a)f^{\prime}(x)>f^{\prime}(c)=0$ ，函数 $f(x)$ 在 $[c, b]$ 单调增加． 故函数 $f(x)$ 在 $[a, c]$ 及 $[c, b]$ 都只有一个根，从而 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上只有两个不同的零点． （4）令 $F(x)=\int_{a}^{x} f(x) \mathrm{d} x-\int_{x}^{b} f(x) \mathrm{d} x$ ，则 $F(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，且 $$ \begin{aligned} & F(a)=\int_{a}^{a} f(x) \mathrm{d} x-\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=-\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x<0, \\ & F(b)=\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x-\int_{b}^{b} f(x) \mathrm{d} x=\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x>0 . \end{aligned} $$ 由介值定理，在 $(a, b)$ 内至少存在一点 $c$ 使 $\int_{a}^{c} f(x) \mathrm{d} x=\int_{c}^{b} f(x) \mathrm{d} x$ ．