上册 3.1 一元函数的导数 第1题
📝 题目
1．求下列导数．
（1）设 $f(x)=x \sqrt{1-x^{2}}+\arcsin x$ ，求 $f^{\prime}(x)$ ．
（2）设 $\displaystyle y=\frac{x}{2} \sqrt{a^{2}-x^{2}}+\frac{a^{2}}{2} \arcsin \frac{x}{a},(a>0)$ ，求 $y^{\prime}$ 。
（3）设 $\displaystyle f(x)=\sqrt{\frac{(1+x) \sqrt{x}}{\mathrm{e}^{x-1}}}+\arcsin \frac{1-x}{\sqrt{1+x^{2}}}$ ，求 $f^{\prime}(1)$ ．
（4）设 $\displaystyle f(x)=\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}, f_{n}(x)=f(f(\cdots f(x)))(n$ 个 $f)$ ，求 $f_{n}^{\prime}(x)$ 。西北工大）
（5）设 $y=\ln \left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right)$ ，求 $y^{\prime \prime}$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）$\displaystyle f^{\prime}(x)=\sqrt{1-x^{2}}+x \frac{-x}{\sqrt{1-x^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}=2 \sqrt{1-x^{2}}$ ．
（2）$\displaystyle y^{\prime}=\frac{1}{2} \sqrt{a^{2}-x^{2}}+\frac{x}{2} \cdot \frac{-2 x}{2 \sqrt{a^{2}-x^{2}}}+\frac{a^{2}}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{1-\left(\frac{x}{a}\right)^{2}}} \cdot \frac{1}{a}=\sqrt{a^{2}-x^{2}}$ ．
（3）记 $\displaystyle g(x)=\sqrt{\frac{(1+x) \sqrt{x}}{\mathrm{e}^{x-1}}}$ ，则
$$
\ln g(x)=\frac{1}{2} \ln (1+x)+\frac{1}{4} \ln x-\frac{x}{2}+\frac{1}{2} .
$$
两边关于 $x$ 求导得
$$
g^{\prime}(x)=g(x)\left[\frac{1}{2(1+x)}+\frac{1}{4 x}-\frac{1}{2}\right],
$$
所以 $g^{\prime}(1)=0$ ．
$$
\left(\arcsin \frac{1-x}{\sqrt{1+x^{2}}}\right)^{\prime}=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{(1-x)^{2}}{1+x^{2}}}} \cdot \frac{1}{1+x^{2}}\left[-\sqrt{1+x^{2}}-\frac{2 x(1-x)}{2 \sqrt{1+x^{2}}}\right],
$$
所以 $\displaystyle \left.\left(\arcsin \frac{1-x}{\sqrt{1+x^{2}}}\right)^{\prime}\right|_{x=1}=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ ．
所以 $\displaystyle f^{\prime}(1)=-\frac{\sqrt{2}}{2}$ ．
（4）由数学归纳法易证：$\displaystyle f_{n}(x)=\frac{x}{\sqrt{1+n x^{2}}}, n \in \mathbf{Z}^{+}$．于是
$$
f_{n}^{\prime}(x)=\left(\frac{x}{\sqrt{1+n x^{2}}}\right)^{\prime}=\frac{1}{1+n x^{2}}\left(\sqrt{1+n x^{2}}-\frac{n x^{2}}{\sqrt{1+n x^{2}}}\right)=\frac{1}{\sqrt{\left(1+n x^{2}\right)^{3}}} .
$$
（5）$\displaystyle y^{\prime}=\frac{1}{x+\sqrt{1+x^{2}}}\left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right)^{\prime}=\frac{1}{x+\sqrt{1+x^{2}}}\left(1+\frac{2 x}{2 \sqrt{1+x^{2}}}\right)=\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}$ ．
$$
y^{\prime \prime}=-\frac{1}{2}\left(1+x^{2}\right)^{-\frac{3}{2}} \cdot 2 x=-x\left(1+x^{2}\right)^{-\frac{3}{2}}
$$
📋 详细解题步骤
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