上册 3.1 一元函数的导数 第2题
📝 题目
2．已知 $\left\{\begin{array}{l}x=a(t-\sin t), \\ y=a(1-\cos t),\end{array}\right.$ 求 $\displaystyle \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}, \frac{\mathrm{~d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
由参数方程求导公式得
$$
\begin{gathered}
\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=\frac{a \sin t}{a(1-\cos t)}=\frac{\sin t}{1-\cos t} . \\
\frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{~d} x}\left(\frac{\mathrm{~d} y}{\mathrm{~d} x}\right)=\frac{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{~d} t}\left(\frac{\mathrm{~d} y}{\mathrm{~d} x}\right)}{\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} t}}=\frac{\cos t(1-\cos t)-\sin ^{2} t}{(1-\cos t)^{2}} \frac{1}{a(1-\cos t)}=-\frac{1}{a(1-\cos t)^{2}} .
\end{gathered}
$$
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：写出参数方程并求导
已知参数方程：$x = a(t - \sin t)$，$y = a(1 - \cos t)$。对 $t$ 求导得：$\frac{dx}{dt} = a(1 - \cos t)$，$\frac{dy}{dt} = a \sin t$。
公式：$\frac{dx}{dt} = a(1-\cos t)$，$\frac{dy}{dt} = a\sin t$
提示：注意对 $\sin t$ 和 $\cos t$ 求导时符号不要弄错。
步骤 2/6
目标：计算一阶导数 dy/dx
利用参数方程求导公式：$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{a \sin t}{a(1-\cos t)} = \frac{\sin t}{1-\cos t}$。
公式：$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt}$
提示：化简时注意 $a$ 约掉，且 $1-\cos t$ 不能为零（$t \neq 2k\pi$）。
步骤 3/6
目标：化简一阶导数表达式
利用半角公式：$\sin t = 2\sin\frac{t}{2}\cos\frac{t}{2}$，$1-\cos t = 2\sin^2\frac{t}{2}$，则 $\frac{\sin t}{1-\cos t} = \frac{2\sin\frac{t}{2}\cos\frac{t}{2}}{2\sin^2\frac{t}{2}} = \cot\frac{t}{2}$。
公式：$\sin t = 2\sin\frac{t}{2}\cos\frac{t}{2}$，$1-\cos t = 2\sin^2\frac{t}{2}$
提示：注意 $\sin\frac{t}{2}$ 可能为零，此时需单独考虑。
步骤 4/6
目标：计算一阶导数对 t 的导数
对 $\frac{dy}{dx} = \frac{\sin t}{1-\cos t}$ 关于 $t$ 求导：$\frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right) = \frac{\cos t(1-\cos t) - \sin t \cdot \sin t}{(1-\cos t)^2} = \frac{\cos t - \cos^2 t - \sin^2 t}{(1-\cos t)^2} = \frac{\cos t - 1}{(1-\cos t)^2} = -\frac{1}{1-\cos t}$。
公式：商的导数公式：$(u/v)' = (u'v - uv')/v^2$
提示：注意分子化简时 $\cos^2 t + \sin^2 t = 1$。
步骤 5/6
目标：计算二阶导数 d²y/dx²
利用公式：$\frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right) \Big/ \frac{dx}{dt} = \left(-\frac{1}{1-\cos t}\right) \Big/ [a(1-\cos t)] = -\frac{1}{a(1-\cos t)^2}$。
公式：$\frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{d}{dt}\left(\frac{dy}{dx}\right) \Big/ \frac{dx}{dt}$
提示：注意分母是 $dx/dt$，不要写成 $dt/dx$。
步骤 6/6
目标：化简二阶导数表达式
利用半角公式：$1-\cos t = 2\sin^2\frac{t}{2}$，则 $\frac{d^2 y}{dx^2} = -\frac{1}{a \cdot 4\sin^4\frac{t}{2}} = -\frac{1}{4a}\csc^4\frac{t}{2}$。
公式：$1-\cos t = 2\sin^2\frac{t}{2}$
提示：注意 $\csc$ 的定义：$\csc\theta = 1/\sin\theta$。
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