上册 3.1 一元函数的导数 第3题
📝 题目
3．求下列导数．
（1）设函数 $f(x)=\varphi(a+b x)-\varphi(a-b x)$ ，其中 $\varphi(x)$ 在 $x=a$ 的某个小邻域内有定义且在该点处可导，求 $f^{\prime}(0)$ ．
（2）设函数 $f(x)=\varphi^{2}(a+b x)-\varphi^{2}(a-b x)$ ，其中 $\varphi(x)$ 在 $x=a$ 的某个小邻域内有定义且在该点处可导，求 $f^{\prime}(0)$ ．
（3）设一元函数 $\varphi(x)$ 一阶连续可导。令 $f(x)=x^{2} \cdot \varphi(x)$ ，计算 $f^{\prime \prime}(x)$ ．
（4）已知 $f(x)=(x-a)^{2} \phi(x)$ ，其中 $\phi^{\prime}(x)$ 在 $x=a$ 的某邻域内连续，求 $f^{\prime \prime}(a)$ ．
（5）已知 $f(x)=(x-a) \varphi(x)$ ，其中 $\varphi(x)$ 在点 $x=a$ 的某邻域内连续，求 $f^{\prime}(a)$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）$\displaystyle f^{\prime}(0)=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(0)}{x}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\varphi(a+b x)-\varphi(a-b x)}{x}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(\varphi(a+b x)-\varphi(a))-(\varphi(a-b x)-\varphi(a))}{x}$
$$
=\lim _{x \rightarrow 0} b \frac{\varphi(a+b x)-\varphi(a)}{b x}-\lim _{x \rightarrow 0}\left(-b \frac{\varphi(a-b x)-\varphi(a)}{-b x}\right)=b \varphi^{\prime}(a)+b \varphi^{\prime}(a)=2 b \varphi^{\prime}(a) .
$$
（2）$\displaystyle f^{\prime}(0)=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(0)}{x}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\varphi^{2}(a+b x)-\varphi^{2}(a-b x)}{x}$
$$
\begin{aligned}
& =\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\varphi^{2}(a+b x)-\varphi(a+b x) \varphi(a-b x)+\varphi(a+b x) \varphi(a-b x)-\varphi^{2}(a-b x)}{x} \\
& =\lim _{x \rightarrow 0} \varphi(a+b x) \frac{\varphi(a+b x)-\varphi(a-b x)}{x}+\lim _{x \rightarrow 0} \varphi(a-b x) \frac{\varphi(a+b x)-\varphi(a-b x)}{x} \\
& =2 \varphi(a) \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\varphi(a+b x)-\varphi(a-b x)}{x} \\
& =2 b \varphi(a)\left(\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\varphi(a+b x)-\varphi(a)}{b x}+\frac{\varphi(a-b x)-\varphi(a)}{-b x}\right) \\
& =4 b \varphi(a) \varphi^{\prime}(a) .
\end{aligned}
$$
（3）$f^{\prime}(x)=2 x \varphi(x)+x^{2} \varphi^{\prime}(x)$ ．
$$
f^{\prime \prime}(x)=2 \varphi(x)+2 x \varphi^{\prime}(x)+2 x \varphi^{\prime}(x)+x^{2} \varphi^{\prime \prime}(x)=2 \varphi(x)+4 x \varphi^{\prime}(x)+x^{2} \varphi^{\prime \prime}(x) .
$$
（4）由于 $f^{\prime}(x)=2(x-a) \phi(x)+(x-a)^{2} \phi^{\prime}(x)$ ，所以 $f^{\prime}(a)=0$ 。由导数定义及 $\phi^{\prime}(x)$ 的连续性假设得
$$
f^{\prime \prime}(a)=\lim _{x \rightarrow a} \frac{f^{\prime}(x)-f^{\prime}(a)}{x-a}=\lim _{x \rightarrow a}\left[2 \phi(x)+(x-a) \phi^{\prime}(a)\right]=2 \phi(a) .
$$
（5）$\displaystyle f^{\prime}(a)=\lim _{x \rightarrow a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}=\lim _{x \rightarrow a} \frac{(x-a) \varphi(x)}{x-a}=\lim _{x \rightarrow a} \varphi(x)=\varphi(a)$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：求f'(0)的导数定义
由导数定义，$f'(0)=\lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x}$。由于$f(0)=\varphi(a)-\varphi(a)=0$，所以$f'(0)=\lim_{x\to 0}\frac{\varphi(a+bx)-\varphi(a-bx)}{x}$。
公式：$f'(0)=\lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x}$
提示：注意$f(0)=0$，否则需要先计算$f(0)$。
步骤 2/7
目标：拆分极限并利用导数定义
将分子改写为$[\varphi(a+bx)-\varphi(a)]-[\varphi(a-bx)-\varphi(a)]$，则极限化为$\lim_{x\to 0}\frac{\varphi(a+bx)-\varphi(a)}{x}-\lim_{x\to 0}\frac{\varphi(a-bx)-\varphi(a)}{x}$。对第一项乘以$b/b$，第二项乘以$(-b)/(-b)$，得到$b\lim_{x\to 0}\frac{\varphi(a+bx)-\varphi(a)}{bx}+b\lim_{x\to 0}\frac{\varphi(a-bx)-\varphi(a)}{-bx}$。
公式：$\lim_{x\to 0}\frac{\varphi(a+bx)-\varphi(a)}{bx}=\varphi'(a)$
提示：注意第二项符号：$\frac{\varphi(a-bx)-\varphi(a)}{x}=\frac{\varphi(a-bx)-\varphi(a)}{-bx}\cdot(-b)$。
步骤 3/7
目标：代入导数结果
由$\varphi$在$x=a$处可导，得$\lim_{x\to 0}\frac{\varphi(a+bx)-\varphi(a)}{bx}=\varphi'(a)$，$\lim_{x\to 0}\frac{\varphi(a-bx)-\varphi(a)}{-bx}=\varphi'(a)$。因此$f'(0)=b\varphi'(a)+b\varphi'(a)=2b\varphi'(a)$。
公式：$f'(0)=2b\varphi'(a)$
提示：确保极限变量趋于0时，增量趋于0。
步骤 4/7
目标：求第二题的f'(0)（类似方法）
由导数定义，$f'(0)=\lim_{x\to 0}\frac{\varphi^2(a+bx)-\varphi^2(a-bx)}{x}$。利用平方差公式，分子可写为$[\varphi(a+bx)-\varphi(a-bx)][\varphi(a+bx)+\varphi(a-bx)]$。因此$f'(0)=\lim_{x\to 0}[\varphi(a+bx)+\varphi(a-bx)]\cdot\frac{\varphi(a+bx)-\varphi(a-bx)}{x}$。由第一题结果，$\lim_{x\to 0}\frac{\varphi(a+bx)-\varphi(a-bx)}{x}=2b\varphi'(a)$，且$\lim_{x\to 0}[\varphi(a+bx)+\varphi(a-bx)]=2\varphi(a)$，故$f'(0)=2\varphi(a)\cdot 2b\varphi'(a)=4b\varphi(a)\varphi'(a)$。
公式：$f'(0)=4b\varphi(a)\varphi'(a)$
提示：注意平方差公式的正确使用，以及极限乘积法则。
步骤 5/7
目标：求第三题的f''(x)
先求一阶导数：$f'(x)=2x\varphi(x)+x^2\varphi'(x)$。再求二阶导数：$f''(x)=2\varphi(x)+2x\varphi'(x)+2x\varphi'(x)+x^2\varphi''(x)=2\varphi(x)+4x\varphi'(x)+x^2\varphi''(x)$。
公式：$f''(x)=2\varphi(x)+4x\varphi'(x)+x^2\varphi''(x)$
提示：注意乘积法则的多次应用，不要漏项。
步骤 6/7
目标：求第四题的f''(a)
先求一阶导数：$f'(x)=2(x-a)\phi(x)+(x-a)^2\phi'(x)$，故$f'(a)=0$。由导数定义，$f''(a)=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)-f'(a)}{x-a}=\lim_{x\to a}\frac{2(x-a)\phi(x)+(x-a)^2\phi'(x)}{x-a}=\lim_{x\to a}[2\phi(x)+(x-a)\phi'(x)]$。由于$\phi'(x)$连续，$\lim_{x\to a}\phi'(x)=\phi'(a)$，但$(x-a)\phi'(x)\to 0$，故$f''(a)=2\phi(a)$。
公式：$f''(a)=2\phi(a)$
提示：注意$f'(a)=0$，否则需用其他方法。
步骤 7/7
目标：求第五题的f'(a)
由导数定义，$f'(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=\lim_{x\to a}\frac{(x-a)\varphi(x)}{x-a}=\lim_{x\to a}\varphi(x)=\varphi(a)$，因为$\varphi$在$x=a$处连续。
公式：$f'(a)=\varphi(a)$
提示：注意$f(a)=0$，否则需先计算$f(a)$。
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