上册 3.1 一元函数的导数 第4题
📝 题目
4．设函数 $\varphi(x)$ 在 $x=a$ 处连续，分别讨论下列函数在点 $x=a$ 处是否可导．
（1）$f(x)=(x-a) \varphi(x)$ ；（2）$f(x)=|x-a| \varphi(x)$ ；（3）$f(x)=(x-a)|\varphi(x)|$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）由 $\varphi(x)$ 在 $x=a$ 处连续及导数定义得 $\displaystyle f^{\prime}(a)=\lim _{x \rightarrow a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}=\lim _{x \rightarrow a} \varphi(x)=\varphi(a)$ ．所以函数在 $x=a$ 处可导．
（2）$\displaystyle f_{+}^{\prime}(a)=\lim _{x \rightarrow a^{+}} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}=\lim _{x \rightarrow a^{+}} \frac{|x-a| \varphi(x)}{x-a}=\varphi(a)$ ．
同理 $f_{-}^{\prime}(a)=-\varphi(a)$ ．
当 $\varphi(a)=0$ 时，$f_{+}^{\prime}(a)=f_{-}^{\prime}(a)$ ，从而函数在 $x=a$ 处可导；否则函数在 $x=a$ 处不可导。
（3）$\displaystyle f^{\prime}(a)=\lim _{x \rightarrow a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}=\lim _{x \rightarrow a} \frac{(x-a)|\varphi(x)|}{x-a}=\lim _{x \rightarrow a}|\varphi(x)|=|\varphi(a)|$ 。所以函数在 $x=a$ 处可导。
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析函数(1)的可导性
由导数定义，$f'(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$。由于$f(a)=(a-a)\varphi(a)=0$，所以$f'(a)=\lim_{x\to a}\frac{(x-a)\varphi(x)}{x-a}=\lim_{x\to a}\varphi(x)$。因为$\varphi(x)$在$x=a$处连续，故$\lim_{x\to a}\varphi(x)=\varphi(a)$，因此$f'(a)=\varphi(a)$存在，函数在$x=a$处可导。
公式：$f'(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$
提示：注意$f(a)=0$，否则不能直接约去$(x-a)$。
步骤 2/5
目标：分析函数(2)的右导数
考虑右导数：$f'_+(a)=\lim_{x\to a^+}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$。由于$f(a)=|a-a|\varphi(a)=0$，且当$x>a$时$|x-a|=x-a$，所以$f'_+(a)=\lim_{x\to a^+}\frac{(x-a)\varphi(x)}{x-a}=\lim_{x\to a^+}\varphi(x)=\varphi(a)$（由连续性）。
公式：$f'_+(a)=\lim_{x\to a^+}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$
提示：注意右导数时$x>a$，绝对值符号可直接去掉。
步骤 3/5
目标：分析函数(2)的左导数
考虑左导数：$f'_-(a)=\lim_{x\to a^-}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$。当$x
公式：$f'_-(a)=\lim_{x\to a^-}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$
提示：注意左导数时$x
步骤 4/5
目标：判断函数(2)的可导性条件
函数在$x=a$处可导当且仅当左右导数相等，即$\varphi(a)=-\varphi(a)$，解得$\varphi(a)=0$。因此当$\varphi(a)=0$时，$f$在$x=a$处可导；否则不可导。
公式：$f'_+(a)=f'_-(a) \iff \varphi(a)=0$
提示：注意左右导数相等是可导的充要条件。
步骤 5/5
目标：分析函数(3)的可导性
由导数定义，$f'(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$。由于$f(a)=(a-a)|\varphi(a)|=0$，所以$f'(a)=\lim_{x\to a}\frac{(x-a)|\varphi(x)|}{x-a}=\lim_{x\to a}|\varphi(x)|$。因为$\varphi(x)$连续，故$|\varphi(x)|$也连续，所以极限等于$|\varphi(a)|$，因此$f'(a)=|\varphi(a)|$存在，函数在$x=a$处可导。
公式：$f'(a)=\lim_{x\to a}|\varphi(x)|=|\varphi(a)|$
提示：注意绝对值函数的连续性：若$\varphi$连续，则$|\varphi|$也连续。
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