上册 3.1 一元函数的导数 第5题
📝 题目
5．确定 $a, b$ 的值，使下列函数 $f(x)$ 在指定点可导．
（1）设 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}x^{2}, x \leqslant x_{0}, \\ a x+b, x>x_{0},\end{array}\right.$ 试确定常数 $a, b$ 的值，使 $f(x)$ 在 $x=x_{0}$ 可导．
（2）设 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}x^{2}+1, x<0, \\ a x+b, x \geqslant 0,\end{array}\right.$ 试确定 $a, b$ 的值，使 $f(x)$ 在 $x=0$ 可导．
（3）设 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}x^{2}+b, x<2, \\ a x+1, x \geqslant 2,\end{array}\right.$ 试确定 $a, b$ 的值，使 $f(x)$ 在 $x=2$ 可导．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
要使 $f(x)$ 在 $x=x_{0}$ 可导，首先要 $f(x)$ 在 $x=x_{0}$ 连续，即要 $f(x)$ 的左右极限 $f\left(x_{0}-0\right)$ ，
$f\left(x_{0}+0\right)$ 均等于 $f\left(x_{0}\right)$ ；其次要使 $f(x)$ 的左右导数相等，即 $f_{-}^{\prime}\left(x_{0}\right)=f_{+}^{\prime}\left(x_{0}\right)$ 。具体解题过程如下：
（1）$f\left(x_{0}\right)=x_{0}^{2}, f\left(x_{0}-0\right)=\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)=\lim _{x \rightarrow x_{0}} x^{2}=x_{0}^{2}$ ，
$$
f\left(x_{0}+0\right)=\lim _{x \rightarrow x_{0}^{+}} f(x)=\lim _{x \rightarrow x_{0}^{+}}(a x+b)=a x_{0}+b .
$$
因此要使 $f(x)$ 在 $x=x_{0}$ 连续，必须 $a x_{0}+b=x_{0}^{2}$ ．
又 $\displaystyle f_{-}^{\prime}\left(x_{0}\right)=\lim _{\Delta x \rightarrow 0^{-}} \frac{f\left(x_{0}+\Delta x\right)-f\left(x_{0}\right)}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0^{-}} \frac{\left(x_{0}+\Delta x\right)^{2}-x_{0}^{2}}{\Delta x}=2 x_{0}$ ，
$$
f_{+}^{\prime}\left(x_{0}\right)=\lim _{\Delta x \rightarrow 0^{-}} \frac{f\left(x_{0}+\Delta x\right)-f\left(x_{0}\right)}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0^{-}} \frac{a\left(x_{0}+\Delta x\right)+b-x_{0}^{2}}{\Delta x}=a .
$$
要使 $f(x)$ 在 $x=x_{0}$ 可导，必须 $f_{-}^{\prime}\left(x_{0}\right)=f_{+}^{\prime}\left(x_{0}\right)$ ，即得 $a=2 x_{0}$ ．
所以当 $a=2 x_{0}, b=-x_{0}^{2}$ 时，$f(x)$ 在 $x=x_{0}$ 可导。
（2）用（1）类似可求得 $a=0, b=1$ ．
（3）用（1）类似可求得 $a=4, b=5$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：理解可导条件
函数 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 可导的必要条件是 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处连续且左右导数相等。即：
1. $\lim_{x \to x_0^-} f(x) = \lim_{x \to x_0^+} f(x) = f(x_0)$；
2. $f'_-(x_0) = f'_+(x_0)$。
提示：可导必连续，但连续不一定可导。
步骤 2/8
目标：第(1)题：利用连续性条件
由 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 连续，有 $\lim_{x \to x_0^-} f(x) = \lim_{x \to x_0^+} f(x) = f(x_0)$。
左极限：$\lim_{x \to x_0^-} x^2 = x_0^2$；
右极限：$\lim_{x \to x_0^+} (ax+b) = a x_0 + b$；
函数值：$f(x_0) = x_0^2$。
因此 $a x_0 + b = x_0^2$。
公式：连续性条件：$\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$
提示：注意分段函数在分界点处的极限要分别计算左右极限。
步骤 3/8
目标：第(1)题：利用导数相等条件
计算左右导数：
左导数：$f'_-(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0^-} \frac{(x_0+\Delta x)^2 - x_0^2}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0^-} \frac{2x_0\Delta x + (\Delta x)^2}{\Delta x} = 2x_0$；
右导数：$f'_+(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0^+} \frac{a(x_0+\Delta x)+b - x_0^2}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0^+} \frac{a\Delta x + (a x_0+b - x_0^2)}{\Delta x}$。
由连续性条件 $a x_0+b = x_0^2$，故分子为 $a\Delta x$，所以 $f'_+(x_0) = a$。
令左右导数相等：$2x_0 = a$。
公式：导数定义：$f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$
提示：计算右导数时，利用连续性条件简化分子。
步骤 4/8
目标：第(1)题：求解参数
联立方程：
\begin{cases}
a x_0 + b = x_0^2 \\
a = 2x_0
\end{cases}
解得 $a = 2x_0$，$b = x_0^2 - a x_0 = x_0^2 - 2x_0^2 = -x_0^2$。
提示：注意 $b$ 的计算不要出错。
步骤 5/8
目标：第(2)题：应用连续性条件
在 $x=0$ 处连续：
左极限：$\lim_{x \to 0^-} (x^2+1) = 1$；
右极限：$\lim_{x \to 0^+} (ax+b) = b$；
函数值：$f(0) = b$（因为 $x\ge 0$ 时 $f(x)=ax+b$）。
所以 $b=1$。
提示：注意 $f(0)$ 由 $x\ge 0$ 的分支定义。
步骤 6/8
目标：第(2)题：应用导数相等条件
计算左右导数：
左导数：$f'_-(0) = \lim_{\Delta x \to 0^-} \frac{(\Delta x)^2+1 - 1}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0^-} \frac{(\Delta x)^2}{\Delta x} = 0$；
右导数：$f'_+(0) = \lim_{\Delta x \to 0^+} \frac{a\Delta x + b - b}{\Delta x} = a$。
令 $0 = a$，得 $a=0$。
提示：注意左导数中 $f(0)=1$，分子为 $(\Delta x)^2+1-1$。
步骤 7/8
目标：第(3)题：应用连续性条件
在 $x=2$ 处连续：
左极限：$\lim_{x \to 2^-} (x^2+b) = 4+b$；
右极限：$\lim_{x \to 2^+} (ax+1) = 2a+1$；
函数值：$f(2) = 2a+1$（因为 $x\ge 2$ 时 $f(x)=ax+1$）。
所以 $4+b = 2a+1$，即 $b = 2a - 3$。
提示：注意 $f(2)$ 由 $x\ge 2$ 的分支定义。
步骤 8/8
目标：第(3)题：应用导数相等条件并求解
计算左右导数：
左导数：$f'_-(2) = \lim_{\Delta x \to 0^-} \frac{(2+\Delta x)^2+b - (4+b)}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0^-} \frac{4\Delta x + (\Delta x)^2}{\Delta x} = 4$；
右导数：$f'_+(2) = \lim_{\Delta x \to 0^+} \frac{a(2+\Delta x)+1 - (2a+1)}{\Delta x} = a$。
令 $4 = a$，得 $a=4$。代入 $b = 2a-3 = 8-3=5$。
提示：计算左导数时，注意 $f(2)=4+b$ 由连续性条件已得。
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