上册 3.1 一元函数的导数 第7题
📝 题目
7．求下列导数．
（1）设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}x^{2} \sin \frac{1}{x}, x>0, \\ 0, x=0, \\ \frac{1-\cos x^{2}}{x}, x<0,\end{array}\right.$ 求 $f^{\prime}(x)$.
（2）设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}x^{2} \sin \frac{1}{x}+\sin x, x \neq 0, \\ 0, x=0,\end{array}\right.$ 求 $f^{\prime}(x)$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）当 $x>0$ 时，$\displaystyle f^{\prime}(x)=2 x \sin \frac{1}{x}+x^{2} \cos \frac{1}{x} \cdot\left(-\frac{1}{x^{2}}\right)=2 x \sin \frac{1}{x}-\cos \frac{1}{x}$ ．
当 $x<0$ 时，$\displaystyle f^{\prime}(x)=\frac{\sin x^{2} \cdot 2 x^{2}-\left(1-\cos x^{2}\right)}{x^{2}}=\frac{2 x^{2} \sin x^{2}-1+\cos x^{2}}{x^{2}}$ ．
当 $x=0$ 时，$\displaystyle f_{+}^{\prime}(0)=\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{x^{2} \sin \frac{1}{x}}{x}=\lim _{x \rightarrow 0^{+}} x \sin \frac{1}{x}=0$ ，
$$
f_{-}^{\prime}(0)=\lim _{x \rightarrow 0^{-}} \frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim _{x \rightarrow 0^{-}} \frac{1-\cos x^{2}}{x^{2}}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{2 x \sin x^{2}}{2 x}=0 .
$$
所以 $f^{\prime}(0)=0$ ．
于是 $\displaystyle f^{\prime}(x)=\left\{\begin{array}{l}2 x \sin \frac{1}{x}-\cos \frac{1}{x}, x>0, \\ 0, x=0, \\ \frac{2 x^{2} \sin x^{2}-1+\cos x^{2}}{x^{2}}, x<0 .\end{array}\right.$
（2）当 $x \neq 0$ 时，有 $\displaystyle f^{\prime}(x)=2 x \sin \frac{1}{x}-\cos \frac{1}{x}+\cos x$ ．
当 $x=0$ 时，$\displaystyle f^{\prime}(0)=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(0)}{x}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^{2} \sin \frac{1}{x}+\sin x}{x}$
$$
=\lim _{x \rightarrow 0}\left(x \sin \frac{1}{x}+\frac{\sin x}{x}\right)=\lim _{x \rightarrow 0} x \sin \frac{1}{x}+\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x}=1 .
$$
所以 $\displaystyle f^{\prime}(x)=\left\{\begin{array}{l}2 x \sin \frac{1}{x}-\cos \frac{1}{x}+\cos x, x \neq 0, \\ 1, x=0 .\end{array}\right.$
📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：求x>0时的导数
当 $x>0$ 时，$f(x)=x^2\sin\frac{1}{x}$。使用乘积法则和链式法则求导：
$f'(x)=2x\sin\frac{1}{x}+x^2\cos\frac{1}{x}\cdot(-\frac{1}{x^2})=2x\sin\frac{1}{x}-\cos\frac{1}{x}$。
公式：$(uv)'=u'v+uv'$，$(\sin u)'=\cos u\cdot u'$
提示：注意链式法则中$\frac{1}{x}$的导数为$-\frac{1}{x^2}$。
步骤 2/8
目标：求x<0时的导数
当 $x<0$ 时，$f(x)=\frac{1-\cos x^2}{x}$。使用商法则：
$f'(x)=\frac{(1-\cos x^2)'\cdot x - (1-\cos x^2)\cdot 1}{x^2}$。
计算分子：$(1-\cos x^2)' = \sin x^2 \cdot 2x = 2x\sin x^2$，代入得：
$f'(x)=\frac{2x\sin x^2 \cdot x - (1-\cos x^2)}{x^2} = \frac{2x^2\sin x^2 -1+\cos x^2}{x^2}$。
公式：$\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$，$(\cos u)'=-\sin u\cdot u'$
提示：注意分子减法时符号变化。
步骤 3/8
目标：求x=0处的右导数
利用导数定义求右导数：
$f'_+(0)=\lim_{x\to 0^+}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\to 0^+}\frac{x^2\sin\frac{1}{x}}{x}=\lim_{x\to 0^+}x\sin\frac{1}{x}=0$，因为$|x\sin\frac{1}{x}|\leq |x|\to 0$。
公式：$f'(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$
提示：利用夹逼准则或无穷小乘以有界量。
步骤 4/8
目标：求x=0处的左导数
利用导数定义求左导数：
$f'_-(0)=\lim_{x\to 0^-}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\to 0^-}\frac{1-\cos x^2}{x^2}$。
使用等价无穷小或洛必达法则：$\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x^2}{x^2}=\lim_{x\to 0}\frac{2x\sin x^2}{2x}=\lim_{x\to 0}\sin x^2=0$。
公式：$1-\cos u \sim \frac{1}{2}u^2$ 或洛必达法则
提示：注意$x\to 0^-$时$x^2\to 0^+$，极限仍为0。
步骤 5/8
目标：综合得到f'(x)的分段表达式（第一问）
由于左右导数相等，$f'(0)=0$。因此：
$f'(x)=\begin{cases} 2x\sin\frac{1}{x}-\cos\frac{1}{x}, & x>0 \\ 0, & x=0 \\ \frac{2x^2\sin x^2-1+\cos x^2}{x^2}, & x<0 \end{cases}$。
提示：注意分段函数在分段点处必须用定义求导。
步骤 6/8
目标：求第二问中x≠0时的导数
当 $x\neq 0$ 时，$f(x)=x^2\sin\frac{1}{x}+\sin x$。求导得：
$f'(x)=2x\sin\frac{1}{x}+x^2\cos\frac{1}{x}\cdot(-\frac{1}{x^2})+\cos x = 2x\sin\frac{1}{x}-\cos\frac{1}{x}+\cos x$。
公式：同第一问乘积法则
提示：注意$\sin x$的导数为$\cos x$。
步骤 7/8
目标：求第二问中x=0处的导数
用定义求$f'(0)$：
$f'(0)=\lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{x^2\sin\frac{1}{x}+\sin x}{x}=\lim_{x\to 0}\left(x\sin\frac{1}{x}+\frac{\sin x}{x}\right)=0+1=1$。
公式：$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$
提示：注意极限$\lim_{x\to 0}x\sin\frac{1}{x}=0$。
步骤 8/8
目标：综合得到第二问的f'(x)分段表达式
因此：
$f'(x)=\begin{cases} 2x\sin\frac{1}{x}-\cos\frac{1}{x}+\cos x, & x\neq 0 \\ 1, & x=0 \end{cases}$。
提示：注意第二问中$f(0)=0$，且导数存在。
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