上册 3.1 一元函数的导数 第8题
📝 题目
8．设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}\mathrm{e}^{x}+x^{2} \sin \frac{1}{x}-1, x \neq 0 \\ 0, x=0,\end{array}\right.$ 求 $f^{\prime}(x)$ ，并讨论导函数在 $x=0$ 是否连续．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
当 $x \neq 0$ 时，$\displaystyle f^{\prime}(x)=\mathrm{e}^{x}+2 x \sin \frac{1}{x}+x^{2} \cos \frac{1}{x} \cdot\left(-\frac{1}{x^{2}}\right)=\mathrm{e}^{x}+2 x \sin \frac{1}{x}-\cos \frac{1}{x}$ ．
当 $x=0$ 时， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{x}+x^{2} \sin \frac{1}{x}-1}{x}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{x}-1}{x}+\lim _{x \rightarrow 0} x \sin \frac{1}{x}=1$ ．
所以 $\displaystyle f^{\prime}(x)=\left\{\begin{array}{l}\mathrm{e}^{x}+2 x \sin \frac{1}{x}-\cos \frac{1}{x}, x \neq 0, \\ 1, x=0 .\end{array}\right.$
由于 $\lim _{x \rightarrow 0} f^{\prime}(x)$ 不存在，故导函数 $f^{\prime}(x)$ 在 $x=0$ 不连续．
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：求x≠0时的导数
当 $x \neq 0$ 时，$f(x)=e^{x}+x^{2} \sin \frac{1}{x}-1$。对每一项分别求导：$(e^{x})'=e^{x}$，$(x^{2} \sin \frac{1}{x})'$ 使用乘积法则和链式法则：$(x^{2})' \sin \frac{1}{x} + x^{2} (\sin \frac{1}{x})' = 2x \sin \frac{1}{x} + x^{2} \cos \frac{1}{x} \cdot (-\frac{1}{x^{2}}) = 2x \sin \frac{1}{x} - \cos \frac{1}{x}$。常数项导数为0。因此 $f'(x)=e^{x}+2x \sin \frac{1}{x} - \cos \frac{1}{x}$。
公式：$(uv)'=u'v+uv'$，$(\sin u)'=\cos u \cdot u'$
提示：注意链式法则：$\sin(1/x)$ 的导数是 $\cos(1/x) \cdot (-1/x^2)$，不要遗漏负号。
步骤 2/5
目标：求x=0处的导数（用导数定义）
由导数定义，$f'(0)=\lim_{x \to 0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0} = \lim_{x \to 0} \frac{e^{x}+x^{2}\sin\frac{1}{x}-1-0}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{e^{x}-1}{x} + \lim_{x \to 0} x \sin\frac{1}{x}$。
公式：$f'(a)=\lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}$
提示：注意 $f(0)=0$，不要忘记代入。
步骤 3/5
目标：计算极限得到f'(0)
计算第一个极限：$\lim_{x \to 0} \frac{e^{x}-1}{x}=1$（重要极限）。计算第二个极限：由于 $|x \sin\frac{1}{x}| \leq |x|$，由夹逼定理得 $\lim_{x \to 0} x \sin\frac{1}{x}=0$。因此 $f'(0)=1+0=1$。
公式：$\lim_{x \to 0} \frac{e^{x}-1}{x}=1$，夹逼定理
提示：第二个极限不能用洛必达法则，因为 $\sin(1/x)$ 在0附近振荡，但乘以 $x$ 后趋于0。
步骤 4/5
目标：写出分段导函数
综合以上，得到分段导函数：
$f'(x)=\begin{cases} e^{x}+2x\sin\frac{1}{x}-\cos\frac{1}{x}, & x \neq 0 \\ 1, & x=0 \end{cases}$
提示：注意在 $x=0$ 处导数值为1，不是0。
步骤 5/5
目标：讨论导函数在x=0处的连续性
要判断 $f'(x)$ 在 $x=0$ 是否连续，需考察 $\lim_{x \to 0} f'(x)$ 是否存在且等于 $f'(0)=1$。考虑 $x \to 0$ 时，$e^{x} \to 1$，$2x\sin\frac{1}{x} \to 0$，但 $-\cos\frac{1}{x}$ 在 $-1$ 和 $1$ 之间振荡，极限不存在。因此 $\lim_{x \to 0} f'(x)$ 不存在，故导函数在 $x=0$ 处不连续。
提示：不要误以为 $\cos(1/x)$ 有极限，它在0附近振荡，没有极限。
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