上册 3.1 一元函数的导数 第9题
📝 题目
9．设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x}{2}+x^{2} \sin \frac{1}{x}, x \neq 0, \\ 0, x=0,\end{array}\right.$（1）求 $f^{\prime}(x)$ ；（2）判定 $f^{\prime}(x)$ 在 $x=0$ 的连续性；（3）是否存在 $x=0$ 的一个邻域使 $f(x)$ 在该邻域内单调？
💡 答案解析
解题过程：
当 $x \neq 0$ 时，$\displaystyle f^{\prime}(x)=\frac{1}{2}+2 x \sin \frac{1}{x}-\cos \frac{1}{x}$ ．
当 $x=0$ 时，$\displaystyle f^{\prime}(0)=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\frac{x}{2}+x^{2} \sin \frac{1}{x}}{x}=\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{2}+x \sin \frac{1}{x}\right)=\frac{1}{2}$ ．
所以 $\displaystyle f^{\prime}(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{2}+2 x \sin \frac{1}{x}-\cos \frac{1}{x}, x \neq 0, \\ \frac{1}{2}, x=0 .\end{array}\right.$
由于 $\lim _{x \rightarrow 0} f^{\prime}(x)$ 不存在，所以 $f^{\prime}(x)$ 在 $x=0$ 不连续．
由于 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} 2 x \sin \frac{1}{x}=0$ ，在 $x=0$ 的任一邻域内，$\displaystyle \frac{1}{2}-\cos \frac{1}{x}$ 变号，所以不存在 $x=0$ 的一个邻域使 $f(x)$ 在该邻域内单调．
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：求x≠0时的导数
当 $x \neq 0$ 时，$f(x)=\frac{x}{2}+x^{2} \sin \frac{1}{x}$。利用求导法则：$(\frac{x}{2})' = \frac{1}{2}$，$(x^{2} \sin \frac{1}{x})' = 2x \sin \frac{1}{x} + x^{2} \cos \frac{1}{x} \cdot (-\frac{1}{x^{2}}) = 2x \sin \frac{1}{x} - \cos \frac{1}{x}$。因此 $f'(x) = \frac{1}{2} + 2x \sin \frac{1}{x} - \cos \frac{1}{x}$。
公式：$(uv)' = u'v + uv'$，$(\sin \frac{1}{x})' = -\frac{1}{x^{2}} \cos \frac{1}{x}$
提示：注意复合函数求导时，$\sin \frac{1}{x}$ 的导数为 $\cos \frac{1}{x} \cdot (-\frac{1}{x^{2}})$，不要遗漏负号。
步骤 2/6
目标：求x=0处的导数
利用导数定义：$f'(0) = \lim_{x \to 0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{x}{2}+x^{2} \sin \frac{1}{x}}{x} = \lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{2} + x \sin \frac{1}{x} \right)$。由于 $|x \sin \frac{1}{x}| \leq |x| \to 0$，故极限为 $\frac{1}{2}$。所以 $f'(0)=\frac{1}{2}$。
公式：$f'(a) = \lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}$
提示：注意 $x \sin \frac{1}{x}$ 在 $x \to 0$ 时极限为0，因为 $\sin \frac{1}{x}$ 有界。
步骤 3/6
目标：写出f'(x)的分段表达式
综合以上结果，得到 $f'(x) = \begin{cases} \frac{1}{2} + 2x \sin \frac{1}{x} - \cos \frac{1}{x}, & x \neq 0 \\ \frac{1}{2}, & x=0 \end{cases}$。
提示：分段函数在分段点处的导数必须用定义求，不能直接套用求导公式。
步骤 4/6
目标：判断f'(x)在x=0处的连续性
考虑极限 $\lim_{x \to 0} f'(x) = \lim_{x \to 0} \left( \frac{1}{2} + 2x \sin \frac{1}{x} - \cos \frac{1}{x} \right)$。由于 $\lim_{x \to 0} 2x \sin \frac{1}{x} = 0$，但 $\lim_{x \to 0} \cos \frac{1}{x}$ 不存在（振荡），因此极限不存在。而 $f'(0)=\frac{1}{2}$，故 $f'(x)$ 在 $x=0$ 处不连续。
提示：极限不存在不等于无穷大，这里是因为振荡导致极限不存在。
步骤 5/6
目标：分析单调性存在的可能性
若 $f(x)$ 在 $x=0$ 的某邻域内单调，则 $f'(x)$ 在该邻域内应不变号（或恒非负/恒非正）。但 $f'(x)$ 在 $x=0$ 附近表达式为 $\frac{1}{2} + 2x \sin \frac{1}{x} - \cos \frac{1}{x}$。当 $x$ 充分接近0时，$2x \sin \frac{1}{x}$ 可任意小，因此 $f'(x)$ 的符号主要由 $\frac{1}{2} - \cos \frac{1}{x}$ 决定。
提示：注意 $2x \sin \frac{1}{x}$ 是无穷小量，但不影响符号的振荡。
步骤 6/6
目标：证明不存在单调邻域
取序列 $x_n = \frac{1}{2n\pi}$，则 $\cos \frac{1}{x_n} = \cos(2n\pi)=1$，$f'(x_n) = \frac{1}{2} + 2x_n \sin(2n\pi) - 1 = -\frac{1}{2} + 0 < 0$。取 $y_n = \frac{1}{(2n+1)\pi}$，则 $\cos \frac{1}{y_n} = \cos((2n+1)\pi) = -1$，$f'(y_n) = \frac{1}{2} + 2y_n \sin((2n+1)\pi) - (-1) = \frac{3}{2} + 0 > 0$。因此在 $x=0$ 的任何邻域内，$f'(x)$ 既取正值又取负值，故 $f(x)$ 不单调。
提示：构造两个趋于0的序列，使得 $\cos \frac{1}{x}$ 分别取1和-1，从而 $f'(x)$ 异号。
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