上册 3.1 一元函数的导数 第10题
📝 题目
10．已知 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}0, x=0, \\ \alpha x+x^{2} \sin \frac{1}{x}, x \neq 0,\end{array}(\alpha>1)\right.$ ，求 $f^{\prime}(0)$ ，且问 $f(x)$ 在 $x=0$ 的某邻域内是否单调？证明你的结论．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
当 $x \neq 0$ 时，$\displaystyle f^{\prime}(x)=\alpha+2 x \sin \frac{1}{x}-\cos \frac{1}{x}$ ．
当 $x=0$ 时，$\displaystyle f^{\prime}(0)=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\alpha x+x^{2} \sin \frac{1}{x}}{x}=\lim _{x \rightarrow 0}\left(\alpha+x \sin \frac{1}{x}\right)=\alpha$ ．
由于 $\displaystyle \alpha>1, \cos \frac{1}{x} \leqslant 1, \lim _{x \rightarrow 0} x \sin \frac{1}{x}=0$ ，因此必存在 $U(0 ; \delta)$ ，使 $\forall x \in U(0 ; \delta)$ 有 $f^{\prime}(x)>0$ ，即 $f(x)$在 $x=0$ 的某邻域内是单调增加的．
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：计算导数定义求f'(0)
由导数定义，$f'(0) = \lim_{x \to 0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0} = \lim_{x \to 0} \frac{\alpha x + x^2 \sin\frac{1}{x}}{x} = \lim_{x \to 0} \left(\alpha + x \sin\frac{1}{x}\right)$。
公式：$f'(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$
提示：注意$f(0)=0$，代入时不要遗漏。
步骤 2/5
目标：计算极限得到f'(0)
由于$\left|x \sin\frac{1}{x}\right| \leq |x|$，由夹逼定理得$\lim_{x\to 0} x \sin\frac{1}{x}=0$，因此$f'(0)=\alpha$。
公式：$\lim_{x\to 0} x \sin\frac{1}{x}=0$
提示：注意$\sin\frac{1}{x}$在$x=0$附近振荡，但乘以$x$后极限为0。
步骤 3/5
目标：求x≠0时的导数表达式
当$x\neq 0$时，$f(x)=\alpha x + x^2 \sin\frac{1}{x}$，求导得$f'(x)=\alpha + 2x \sin\frac{1}{x} - \cos\frac{1}{x}$。
公式：$(x^2 \sin\frac{1}{x})' = 2x \sin\frac{1}{x} - \cos\frac{1}{x}$
提示：注意复合函数求导：$\frac{d}{dx}\sin\frac{1}{x} = \cos\frac{1}{x} \cdot (-\frac{1}{x^2})$，乘以$x^2$后得到$-\cos\frac{1}{x}$。
步骤 4/5
目标：分析f'(x)在x=0附近的符号
由于$\alpha > 1$，且$\cos\frac{1}{x} \leq 1$，$\lim_{x\to 0} 2x\sin\frac{1}{x}=0$，因此存在$\delta>0$使得当$0<|x|<\delta$时，$|2x\sin\frac{1}{x}| < \frac{\alpha-1}{2}$，且$\cos\frac{1}{x} \leq 1$，于是$f'(x) \geq \alpha - \frac{\alpha-1}{2} - 1 = \frac{\alpha-1}{2} > 0$。
公式：无
提示：需要利用$\alpha>1$的条件，通过放缩证明导数恒正。
步骤 5/5
目标：证明单调性
由上述分析，存在$x=0$的某邻域$U(0,\delta)$，使得对任意$x\in U(0,\delta)$且$x\neq 0$，有$f'(x)>0$，且$f'(0)=\alpha>0$，因此$f(x)$在$x=0$的某邻域内严格单调递增。
公式：无
提示：注意单调性需要邻域内所有点导数非负且不恒为零，这里导数恒正。
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