上册 3.1 一元函数的导数 第11题
📝 题目
11．求极限 $\displaystyle \lim _{t \rightarrow x}\left(\frac{\sin t}{\sin x}\right)^{\frac{x}{\sin t-\sin x}}$ ，记此极限为 $f(x)$ ．（1）求函数 $f(x)$ 的间断点，并判别间断点类型；（2）讨论 $f(x)$ 的连续性，并说明是否可在 $x=0$ 处定义 $f(0)$ 的值，使得 $f(x)$ 在该点可导．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
当 $x \neq k \pi$（ $k$ 为整数）时，$\displaystyle f(x)=\lim _{t \rightarrow x}\left(\frac{\sin t}{\sin x}\right)^{\frac{x}{\sin t-\sin x}}=\lim _{t \rightarrow x}\left[\left(1+\frac{\sin t-\sin x}{\sin x}\right)^{\frac{\sin x}{\sin t-\sin x}}\right]^{\frac{x}{\sin x}}=\mathrm{e}^{\frac{x}{\sin x}}$ ．
由于 $\lim _{x \rightarrow k \pi^{-}} f(x)=+\infty$ ，极限不存在 $(k \neq 0)$ ，因此 $x=k \pi(k \neq 0)$ 为 $f(x)$ 的第二类间断点。
由于 $\lim _{x \rightarrow 0} f(x)=\mathrm{e}$ ，因此 $x=0$ 为 $f(x)$ 的可去间断点，可定义 $f(0)=\mathrm{e}$ ，使得 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续．
$$
f^{\prime}(0)=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(0)}{x}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{\frac{x}{\sin x}}-\mathrm{e}}{x}=\lim _{x \rightarrow 0} \mathrm{e}^{\frac{x}{\sin x}} \frac{\sin x-x \cos x}{\sin ^{2} x}=\mathrm{e} \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x \sin x}{2 \sin x \cos x}=0 .
$$
因此 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导。
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：求极限表达式
当 $x \neq k\pi$（$k$ 为整数）时，计算极限 $\displaystyle \lim_{t \to x} \left(\frac{\sin t}{\sin x}\right)^{\frac{x}{\sin t - \sin x}}$。令 $u = \sin t - \sin x$，则 $t \to x$ 时 $u \to 0$，且 $\frac{\sin t}{\sin x} = 1 + \frac{u}{\sin x}$。原极限化为 $\displaystyle \lim_{u \to 0} \left(1 + \frac{u}{\sin x}\right)^{\frac{x}{u}} = \left[\lim_{u \to 0} \left(1 + \frac{u}{\sin x}\right)^{\frac{\sin x}{u}}\right]^{\frac{x}{\sin x}} = e^{\frac{x}{\sin x}}$。
公式：$\lim_{u \to 0} (1+u)^{1/u} = e$
提示：注意 $\sin x$ 不能为零，否则分母为零。
步骤 2/7
目标：确定函数定义域
由极限表达式，$f(x) = e^{\frac{x}{\sin x}}$ 在 $\sin x \neq 0$ 时成立，即 $x \neq k\pi$，$k$ 为整数。
提示：注意 $x=0$ 时 $\sin x=0$，但极限存在，需单独处理。
步骤 3/7
目标：分析间断点
考虑 $x = k\pi$（$k$ 为整数）。当 $k \neq 0$ 时，$\lim_{x \to k\pi} \frac{x}{\sin x} = \infty$（因为 $\sin x \to 0$ 而 $x \to k\pi \neq 0$），故 $\lim_{x \to k\pi} f(x) = \infty$，极限不存在，为第二类间断点。当 $k=0$ 时，$\lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin x} = 1$，故 $\lim_{x \to 0} f(x) = e$，极限存在，但 $f(0)$ 未定义，故 $x=0$ 为可去间断点。
公式：$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$
提示：区分 $k=0$ 和 $k \neq 0$ 的情况。
步骤 4/7
目标：定义 $f(0)$ 使函数连续
由于 $\lim_{x \to 0} f(x) = e$，定义 $f(0) = e$，则 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续。
提示：连续要求极限值等于函数值。
步骤 5/7
目标：讨论 $f(x)$ 在 $x=0$ 处的可导性
计算导数定义：$f'(0) = \lim_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{e^{\frac{x}{\sin x}} - e}{x}$。利用等价无穷小或洛必达法则。
公式：$f'(a) = \lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}$
提示：注意 $f(0)=e$。
步骤 6/7
目标：计算极限 $\lim_{x \to 0} \frac{e^{\frac{x}{\sin x}} - e}{x}$
令 $g(x) = \frac{x}{\sin x}$，则 $g(0)=1$。$\lim_{x \to 0} \frac{e^{g(x)} - e}{x} = e \lim_{x \to 0} \frac{e^{g(x)-1} - 1}{x} = e \lim_{x \to 0} \frac{g(x)-1}{x}$（因为 $e^u-1 \sim u$ 当 $u \to 0$）。而 $g(x)-1 = \frac{x}{\sin x} - 1 = \frac{x - \sin x}{\sin x}$，故 $\frac{g(x)-1}{x} = \frac{x - \sin x}{x \sin x}$。利用 $\sin x \sim x$，$x - \sin x \sim \frac{x^3}{6}$，得极限 $\lim_{x \to 0} \frac{x^3/6}{x^2} = 0$。因此 $f'(0)=0$。
公式：$e^u-1 \sim u$ 当 $u \to 0$；$x-\sin x \sim \frac{x^3}{6}$
提示：注意等价无穷小的使用条件。
步骤 7/7
目标：总结间断点类型和可导性
综上，$x=k\pi$（$k \neq 0$）为第二类间断点；$x=0$ 为可去间断点，定义 $f(0)=e$ 后 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续且可导，导数为 $0$。
提示：可去间断点可通过定义函数值消除。
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