上册 3.1 一元函数的导数 第12题
📝 题目
12．讨论下列函数在 $x=0$ 处的可导性．
（1）$f(x)=\left\{\begin{array}{l}-x, x \text { 为无理数，} \\ x, x \text { 为有理数．}\end{array}\right.$
（2）$g(x)=\left\{\begin{array}{l}-x^{2}, x \text { 为无理数，} \\ x^{2}, x \text { 为有理数．}\end{array}(\right.$ 华南理工 2010, 燕山大学 2010）
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）显然 $f(0)=0$ ．
对收敛于 0 的有理数列 $\left\{r_{n}\right\}$ ，有 $\displaystyle \frac{f\left(r_{n}\right)-f(0)}{r_{n}-0}=1$ ．
对收敛于 0 的无理数列 $\left\{\alpha_{n}\right\}$ ，有 $\displaystyle \frac{f\left(\alpha_{n}\right)-f(0)}{\alpha_{n}-0}=\frac{-\alpha_{n}}{\alpha_{n}}=-1$ ．
因此 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0}$ 不存在，所以 $f(x)$ 在 $x=0$ 处不可导．
（2）显然 $g(0)=0$ ．
由于 $\displaystyle \left|\frac{g(x)-g(0)}{x-0}\right|=\left|\frac{g(x)}{x}\right| \leqslant|x|$ ，故 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{g(x)-g(0)}{x-0}=0$ ，所以 $g(x)$ 在 $x=0$ 处可导，且 $g^{\prime}(0)=0$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：确定函数在x=0处的函数值
对于函数 $f(x)$，当 $x=0$ 时，0 是有理数，因此 $f(0)=0$。
提示：注意0是有理数，所以代入有理数分支。
步骤 2/8
目标：构造有理数列并计算差商
取任意收敛于0的有理数列 $\{r_n\}$，即 $r_n \to 0$ 且 $r_n \in \mathbb{Q}$。则 $f(r_n)=r_n$，差商为：
$$\frac{f(r_n)-f(0)}{r_n-0}=\frac{r_n}{r_n}=1.$$
公式：差商公式：$\frac{f(x)-f(0)}{x-0}$
提示：确保数列中的项不为0，否则分母为0。
步骤 3/8
目标：构造无理数列并计算差商
取任意收敛于0的无理数列 $\{\alpha_n\}$，即 $\alpha_n \to 0$ 且 $\alpha_n \notin \mathbb{Q}$。则 $f(\alpha_n)=-\alpha_n$，差商为：
$$\frac{f(\alpha_n)-f(0)}{\alpha_n-0}=\frac{-\alpha_n}{\alpha_n}=-1.$$
提示：注意无理数分支的表达式为 $-x$。
步骤 4/8
目标：判断极限是否存在
由于有理数列对应的差商极限为1，无理数列对应的差商极限为-1，两者不相等，因此极限 $\lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}$ 不存在。
提示：函数在某点可导的充要条件是差商极限存在且唯一。
步骤 5/8
目标：得出f(x)在x=0处不可导的结论
因为差商极限不存在，所以函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处不可导。
步骤 6/8
目标：确定g(x)在x=0处的函数值
对于函数 $g(x)$，当 $x=0$ 时，0 是有理数，因此 $g(0)=0^2=0$。
提示：同样注意0是有理数。
步骤 7/8
目标：估计差商的绝对值
对于任意 $x \neq 0$，有 $|g(x)| \leq x^2$，因为当 $x$ 为有理数时 $g(x)=x^2$，当 $x$ 为无理数时 $g(x)=-x^2$，绝对值均为 $x^2$。于是
$$\left|\frac{g(x)-g(0)}{x-0}\right| = \left|\frac{g(x)}{x}\right| \leq \frac{x^2}{|x|} = |x|.$$
公式：绝对值不等式：$|g(x)| \leq x^2$
提示：注意 $g(x)$ 的绝对值与 $x^2$ 的关系。
步骤 8/8
目标：利用夹逼准则求极限
由 $0 \leq \left|\frac{g(x)}{x}\right| \leq |x|$，且 $\lim_{x\to 0}|x|=0$，根据夹逼准则得
$$\lim_{x\to 0}\frac{g(x)}{x}=0.$$
因此 $g(x)$ 在 $x=0$ 处可导，且 $g'(0)=0$。
公式：夹逼准则
提示：注意极限为0，所以导数为0。
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