上册 3.1 一元函数的导数 第13题
📝 题目
13．设 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}x, x \text { 为有理数，} \\ x^{2}+x, x \text { 为无理数，}\end{array}\right.$（1）证明：若 $x \neq 0$, 则 $f(x)$ 在 $x$ 处不连续；（2）计算 $f^{\prime}(0)$.
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）$f(x)$ 在任意点 $x_{0} \neq 0$ 处不连续．
事实上，分别取收敛于 $x_{0}$ 的有理点列 $\left\{a_{n}\right\}$ 和无理点列 $\left\{b_{n}\right\}$ 有
$$
\lim _{n \rightarrow \infty} f\left(a_{n}\right)=\lim _{n \rightarrow \infty} a_{n}=x_{0}, \lim _{n \rightarrow \infty} f\left(b_{n}\right)=\lim _{n \rightarrow \infty} b_{n}\left(1+b_{n}\right)=x_{0}^{2}+x_{0} .
$$
显然，当 $x_{0} \neq 0$ 时，$x_{0} \neq x_{0}^{2}+x_{0}$ 。由归结原则知极限 $\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)$ 不存在．因此 $f(x)$ 在 $x_{0} \neq 0$ 处不连续．
（2）由于 $\lim _{x \rightarrow 0} f(x)=0=f(0)$ ，因此 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续．
由于 $\displaystyle \left|\frac{f(x)-f(0)}{x-0}-1\right| \leqslant|x|$ ，故 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0}=1$ ．所以 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导，且 $f^{\prime}(0)=1$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：证明f(x)在x≠0处不连续：构造有理点列和无理点列
设 $x_0 \neq 0$。由于有理数和无理数在实数中稠密，存在有理点列 $\{a_n\}$ 和无理点列 $\{b_n\}$ 使得 $\lim_{n\to\infty} a_n = x_0$，$\lim_{n\to\infty} b_n = x_0$。
提示：注意点列必须收敛到 $x_0$，且分别由有理数和无理数组成。
步骤 2/6
目标：计算两个点列对应的函数值极限
由于 $f(a_n)=a_n$，$f(b_n)=b_n^2+b_n$，因此
$$
\lim_{n\to\infty} f(a_n) = \lim_{n\to\infty} a_n = x_0,
$$
$$
\lim_{n\to\infty} f(b_n) = \lim_{n\to\infty} (b_n^2+b_n) = x_0^2 + x_0.
$$
提示：注意 $f$ 在有理点和无理点的定义不同。
步骤 3/6
目标：比较两个极限值，得出极限不存在
当 $x_0 \neq 0$ 时，$x_0 \neq x_0^2 + x_0$（因为 $x_0^2 \neq 0$）。由归结原则（函数极限与数列极限的关系），若 $\lim_{x\to x_0} f(x)$ 存在，则沿任何收敛于 $x_0$ 的数列的极限都应相等。但这里两个数列的极限不同，故 $\lim_{x\to x_0} f(x)$ 不存在，从而 $f(x)$ 在 $x_0$ 处不连续。
公式：归结原则：$\lim_{x\to x_0} f(x)=A$ 当且仅当对任意 $x_n\to x_0$（$x_n\neq x_0$），有 $\lim f(x_n)=A$。
提示：注意 $x_0=0$ 时两个极限相等，因此不能直接推出不连续，需单独处理。
步骤 4/6
目标：验证f(x)在x=0处连续
计算 $f(0)=0$。对任意 $x$，若 $x$ 为有理数，则 $|f(x)-0|=|x|$；若 $x$ 为无理数，则 $|f(x)-0|=|x^2+x| \leq |x|^2+|x|$。因此当 $x\to 0$ 时，$|f(x)-0|\to 0$，即 $\lim_{x\to 0} f(x)=0=f(0)$，故 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续。
提示：注意 $x^2+x$ 在 $x=0$ 附近有界，可用夹逼准则。
步骤 5/6
目标：计算f在0处的导数：利用定义
考虑差商 $\frac{f(x)-f(0)}{x-0} = \frac{f(x)}{x}$。当 $x$ 为有理数时，$\frac{f(x)}{x}=1$；当 $x$ 为无理数时，$\frac{f(x)}{x}=x+1$。因此
$$
\left| \frac{f(x)}{x} - 1 \right| = \begin{cases} 0, & x\text{有理数} \\ |x|, & x\text{无理数} \end{cases} \leq |x|.
$$
由夹逼准则，$\lim_{x\to 0} \frac{f(x)}{x} = 1$，即 $f'(0)=1$。
公式：导数定义：$f'(0)=\lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}$。
提示：注意 $x$ 为有理数时差商恒为1，无理数时趋于1，因此极限为1。
步骤 6/6
目标：总结结论
（1）$f(x)$ 在任意 $x\neq 0$ 处不连续；（2）$f'(0)=1$。
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