上册 3.1 一元函数的导数 第15题

\section*{解题过程：} 要使 $x^{\alpha}$ 有意义，必须 $\displaystyle \alpha=\frac{p}{q}$ ，其中 $p$ 为整数，$q$ 为正奇数，且 $|p|$ 与 $q$ 互质。下面在此限制条件下进行讨论． 当 $\alpha \leqslant 0$ 时，由于 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} f(x)=\lim _{x \rightarrow 0} x^{\alpha} \sin \frac{1}{x}$ 不存在，故 $f(x)$ 在 $x=0$ 点不连续，当然也不可微。 当 $\alpha>0$ 时，因为 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} x^{\alpha}=0,\left|\sin \frac{1}{x}\right| \leqslant 1(x \neq 0)$ ，所以 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} x^{\alpha} \sin \frac{1}{x}=0$ ．因此当 $\alpha>0$ 时，$f(x)$ 在 $x=0$ 处连续． 当 $0<\alpha \leqslant 1$ 时，由于 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim _{x \rightarrow 0} x^{\alpha-1} \sin \frac{1}{x}$ 不存在，故函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 点不可导（此时是连续的）． 当 $\alpha>1$ 时，因为 $\displaystyle f^{\prime}(0)=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(0+\Delta x)-f(0)}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{(\Delta x)^{\alpha} \sin \frac{1}{\Delta x}}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0}(\Delta x)^{\alpha-1} \sin \frac{1}{\Delta x}=0$ ，所以 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导，且 $f^{\prime}(0)=0$ ．可求出导函数 $\displaystyle f^{\prime}(x)=\left\{\begin{array}{l}\alpha x^{\alpha-1} \sin \frac{1}{x}-x^{\alpha-2} \cos \frac{1}{x}, x \neq 0, \\ 0, x=0 .\end{array}\right.$ 当 $1 \leqslant \alpha \leqslant 2$ 时，由于 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} f^{\prime}(x)=\lim _{x \rightarrow 0}\left(\alpha x^{\alpha-1} \sin \frac{1}{x}-x^{\alpha-2} \cos \frac{1}{x}\right)$ 不存在，所以 $f^{\prime}(x)$ 在 $x=0$ 不连续（在 $1<\alpha \leqslant 2$ 时，函数是可导的） 当 $\alpha>2$ 时，由于 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} f^{\prime}(x)=\lim _{x \rightarrow 0}\left(\alpha x^{\alpha-1} \sin \frac{1}{x}-x^{\alpha-2} \cos \frac{1}{x}\right)=0=f^{\prime}(0)$ ，故 $f^{\prime}(x)$ 在 $x=0$ 点连续．