上册 3.1 一元函数的导数 第16题
📝 题目
16．设函数 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}x^{p} \arctan \frac{1}{x^{2}}, x \neq 0, \\ 0, x=0,\end{array}\right.$ 讨论 $f(x)$ 在 $x=0$ 处的连续性、可微性及导函数的连续性，并在可导时求 $f^{\prime}(0)$ 。
💡 答案解析
解题过程：
因为
$$
\lim _{x \rightarrow 0} f(x)=\lim _{x \rightarrow 0} x^{p} \arctan \frac{1}{x^{2}}=\left\{\begin{array}{l}
0, p>0 \\
\infty, p<0 \\
\frac{\pi}{2}, p=0
\end{array}\right.
$$
所以当 $p \leqslant 0$ 时，$f(x)$ 在 $x=0$ 处不连续，也不可微；当 $p>0$ 时，$f(x)$ 在 $x=0$ 处连续．
当 $p>0, x \neq 0$ 时，$\displaystyle f^{\prime}(x)=p x^{p-1} \arctan \frac{1}{x^{2}}+x^{p} \cdot \frac{1}{1+\left(\frac{1}{x^{2}}\right)^{2}} \cdot\left(-\frac{2}{x^{3}}\right)=p x^{p-1} \arctan \frac{1}{x^{2}}-\frac{2 x^{p+1}}{1+x^{4}}$ ．
当 $p>0, x=0$ 时， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^{p} \arctan \frac{1}{x^{2}}}{x}=\lim _{x \rightarrow 0} x^{p-1} \arctan \frac{1}{x^{2}}=\left\{\begin{array}{l}0, p>1, \\ \infty, p<1, \\ \frac{\pi}{2}, p=1 .\end{array}\right.$
所以当 $01$ 时， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} f^{\prime}(x)=\lim _{x \rightarrow 0}\left(p x^{p-1} \arctan \frac{1}{x^{2}}-\frac{2 x^{p+1}}{1+x^{4}}\right)=0=f^{\prime}(0)$ ．
即当 $p \geqslant 1$ 时，$f^{\prime}(x)$ 在 $x=0$ 处连续．
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：讨论连续性
计算极限 $\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} x^p \arctan\frac{1}{x^2}$。由于 $\arctan\frac{1}{x^2}$ 有界且趋于 $\frac{\pi}{2}$，极限值取决于 $p$：当 $p>0$ 时极限为 $0$，等于 $f(0)$，故连续；当 $p=0$ 时极限为 $\frac{\pi}{2} \neq 0$，不连续；当 $p<0$ 时极限为 $\infty$，不连续。
公式：\lim_{x\to0} x^p \arctan\frac{1}{x^2} = \begin{cases} 0, & p>0 \\ \frac{\pi}{2}, & p=0 \\ \infty, & p<0 \end{cases}
提示：注意 $\arctan\frac{1}{x^2}$ 当 $x\to0$ 时趋于 $\frac{\pi}{2}$，不是 $0$。
步骤 2/6
目标：计算导数（$x\neq0$）
当 $x\neq0$ 时，利用乘积法则和链式法则求导：$f'(x) = p x^{p-1} \arctan\frac{1}{x^2} + x^p \cdot \frac{1}{1+(1/x^2)^2} \cdot (-\frac{2}{x^3}) = p x^{p-1} \arctan\frac{1}{x^2} - \frac{2x^{p+1}}{1+x^4}$。
公式：f'(x) = p x^{p-1} \arctan\frac{1}{x^2} - \frac{2x^{p+1}}{1+x^4}
提示：求导时注意 $\arctan$ 的导数公式：$\frac{d}{dx}\arctan u = \frac{u'}{1+u^2}$。
步骤 3/6
目标：讨论可微性（$x=0$）
计算导数定义：$\lim_{x\to0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0} = \lim_{x\to0} \frac{x^p \arctan\frac{1}{x^2}}{x} = \lim_{x\to0} x^{p-1} \arctan\frac{1}{x^2}$。该极限当 $p>1$ 时为 $0$，当 $p=1$ 时为 $\frac{\pi}{2}$，当 $0
公式：f'(0) = \lim_{x\to0} x^{p-1} \arctan\frac{1}{x^2} = \begin{cases} 0, & p>1 \\ \frac{\pi}{2}, & p=1 \\ \text{不存在}, & 0
提示：注意 $p=1$ 时极限为 $\frac{\pi}{2}$，不是 $0$。
步骤 4/6
目标：讨论导函数连续性（$p=1$）
当 $p=1$ 时，$f'(x) = \arctan\frac{1}{x^2} - \frac{2x^2}{1+x^4}$。求极限 $\lim_{x\to0} f'(x) = \lim_{x\to0} \left(\arctan\frac{1}{x^2} - \frac{2x^2}{1+x^4}\right) = \frac{\pi}{2} - 0 = \frac{\pi}{2} = f'(0)$，故导函数在 $x=0$ 处连续。
公式：\lim_{x\to0} f'(x) = \frac{\pi}{2} = f'(0)
提示：注意 $\frac{2x^2}{1+x^4}\to0$ 当 $x\to0$。
步骤 5/6
目标：讨论导函数连续性（$p>1$）
当 $p>1$ 时，$f'(x) = p x^{p-1} \arctan\frac{1}{x^2} - \frac{2x^{p+1}}{1+x^4}$。由于 $p-1>0$，第一项趋于 $0$；第二项中 $p+1>2$，也趋于 $0$。故 $\lim_{x\to0} f'(x) = 0 = f'(0)$，导函数连续。
公式：\lim_{x\to0} f'(x) = 0 = f'(0)
提示：注意 $p>1$ 时 $f'(0)=0$，且极限也为 $0$。
步骤 6/6
目标：总结结论
综上所述：
- 连续性：$p>0$ 时连续，$p\leq0$ 时不连续。
- 可微性：$p>1$ 时可导且 $f'(0)=0$；$p=1$ 时可导且 $f'(0)=\frac{\pi}{2}$；$0
提示：注意 $p=1$ 是临界情况，可导但导函数连续。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。