上册 3.1 一元函数的导数 第17题
📝 题目
17．设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}g(x) \sin \frac{1}{x}, x \neq 0, \\ 0, x=0,\end{array}\right.$ 且 $g(0)=g^{\prime}(0)=0$ ，求 $f^{\prime}(0)$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
由导数定义有 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{g(x)}{x}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{g(x)-g(0)}{x}=g^{\prime}(0)=0$ ，即 $\displaystyle x \rightarrow 0, \frac{g(x)}{x}$ 是无穷小量．
由导数定义，$\displaystyle f^{\prime}(0)=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(0)}{x}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{g(x) \sin \frac{1}{x}-0}{x}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{g(x)}{x} \sin \frac{1}{x}=0$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：回顾导数定义
根据导数定义，$f'(0) = \lim_{x \to 0} \frac{f(x)-f(0)}{x}$。由于 $f(0)=0$，所以 $f'(0) = \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x}$。
公式：$f'(a) = \lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}$
提示：注意 $f(0)=0$，代入时不要遗漏。
步骤 2/6
目标：代入函数表达式
当 $x \neq 0$ 时，$f(x)=g(x)\sin\frac{1}{x}$，因此 $f'(0) = \lim_{x \to 0} \frac{g(x)\sin\frac{1}{x}}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{g(x)}{x} \cdot \sin\frac{1}{x}$。
提示：注意 $x=0$ 时函数值已单独给出，极限过程只考虑 $x \neq 0$。
步骤 3/6
目标：利用已知条件求 $\frac{g(x)}{x}$ 的极限
已知 $g(0)=0$ 且 $g'(0)=0$，由导数定义：$g'(0) = \lim_{x \to 0} \frac{g(x)-g(0)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{g(x)}{x} = 0$。所以 $\frac{g(x)}{x}$ 是 $x \to 0$ 时的无穷小量。
公式：$g'(0) = \lim_{x \to 0} \frac{g(x)-g(0)}{x}$
提示：注意 $g(0)=0$，所以分子就是 $g(x)$。
步骤 4/6
目标：分析 $\sin\frac{1}{x}$ 的有界性
对于任意 $x \neq 0$，$\left|\sin\frac{1}{x}\right| \leq 1$，即 $\sin\frac{1}{x}$ 是有界函数。
公式：$|\sin t| \leq 1$
提示：有界性很重要，但注意 $\sin\frac{1}{x}$ 在 $x=0$ 附近振荡，没有极限。
步骤 5/6
目标：应用无穷小乘有界函数仍为无穷小
由于 $\frac{g(x)}{x} \to 0$（无穷小），而 $\sin\frac{1}{x}$ 有界，因此 $\frac{g(x)}{x} \cdot \sin\frac{1}{x} \to 0$（无穷小乘有界仍为无穷小）。
公式：若 $\alpha(x) \to 0$，$|\beta(x)| \leq M$，则 $\alpha(x)\beta(x) \to 0$
提示：注意这里不能直接使用极限运算法则，因为 $\sin\frac{1}{x}$ 极限不存在，但利用有界性可处理。
步骤 6/6
目标：得出导数结果
因此 $f'(0) = \lim_{x \to 0} \frac{g(x)}{x} \sin\frac{1}{x} = 0$。
提示：最终结果为0，注意不要遗漏。
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