上册 3.1 一元函数的导数 第18题
📝 题目
18．设 $g(x) \in C^{2}(-\infty,+\infty), g(0)=1$ ．令函数 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{g(x)-\cos x}{x}, x \neq 0, \\ a, x=0,\end{array}\right.$（1）确定 $a$ 的值，使 $f(x)$在点 $x=0$ 连续；（2）求 $f^{\prime}(x)$ ；（3）讨论 $f^{\prime}(x)$ 在点 $x=0$ 处的连续性。电子科技 2013，哈工大，南京大学 2001，延安大学 2006 ，郑州大学 2002 ，南京师大 2000 ，武汉科技 2005 ，陕西师大 2000 ）
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
由于 $g(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上有二阶连续导数，所以 $g(x), g^{\prime}(x), g^{\prime \prime}(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上连续。
（1）由于 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} f(x)=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{g(x)-\cos x}{x}=\lim _{x \rightarrow 0}\left(g^{\prime}(x)+\sin x\right)=g^{\prime}(0)$ ，要使 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续，必须 $a=g^{\prime}(0)$ ．
（2）当 $x \neq 0$ 时，$\displaystyle f^{\prime}(x)=\frac{x\left(g^{\prime}(x)+\sin x\right)-g(x)+\cos x}{x^{2}}$ ．
当 $x=0$ 时，$\displaystyle f^{\prime}(0)=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(0)}{x}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\frac{g(x)-\cos x}{x}-g^{\prime}(0)}{x}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{g(x)-\cos x-x g^{\prime}(0)}{x^{2}}$
$$
=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{g^{\prime}(x)-g^{\prime}(0)+\sin x}{2 x}=\frac{1}{2} g^{\prime \prime}(0)+\frac{1}{2} .
$$
所以 $\displaystyle f^{\prime}(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{x\left(g^{\prime}(x)+\sin x\right)-g(x)+\cos x}{x^{2}}, x \neq 0, \\ \frac{1}{2}\left(g^{\prime \prime}(0)+1\right), x=0 .\end{array}\right.$
（3）由于 $g(x)$ 和 $g^{\prime}(x)$ 连续，故当 $x \neq 0$ 时，$f^{\prime}(x)$ 存在且连续．
当 $x=0$ 时， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} f^{\prime}(x)=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x\left(g^{\prime}(x)+\sin x\right)-g(x)+\cos x}{x^{2}}$
$$
\begin{aligned}
& =\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x\left(g^{\prime \prime}(x)+\cos x\right)+g^{\prime}(x)+\sin x-g^{\prime}(x)-\sin x}{2 x} \\
& =\lim _{x \rightarrow 0} \frac{g^{\prime \prime}(x)+\cos x}{2}=\frac{1}{2}\left(g^{\prime \prime}(0)+1\right)=f^{\prime}(0)
\end{aligned}
$$
所以 $f^{\prime}(x)$ 在 $x=0$ 处连续．
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：确定a使f(x)在x=0连续
由连续定义，需 $\lim_{x\to 0}f(x)=f(0)=a$。计算极限：$\lim_{x\to 0}\frac{g(x)-\cos x}{x}$，由于分子趋于0，分母趋于0，使用洛必达法则：$\lim_{x\to 0}\frac{g'(x)+\sin x}{1}=g'(0)$。故 $a=g'(0)$。
公式：$\lim_{x\to 0}\frac{g(x)-\cos x}{x}=g'(0)$
提示：注意洛必达法则的使用条件：分子分母趋于0且导数存在。
步骤 2/5
目标：求x≠0时的f'(x)
当 $x\neq 0$ 时，$f(x)=\frac{g(x)-\cos x}{x}$，直接求导：$f'(x)=\frac{x(g'(x)+\sin x)-(g(x)-\cos x)}{x^2}=\frac{x(g'(x)+\sin x)-g(x)+\cos x}{x^2}$。
公式：$f'(x)=\frac{x(g'(x)+\sin x)-g(x)+\cos x}{x^2}$
提示：注意商的求导法则：$(u/v)'=(u'v-uv')/v^2$。
步骤 3/5
目标：求f'(0)（导数定义）
由导数定义：$f'(0)=\lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{\frac{g(x)-\cos x}{x}-g'(0)}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{g(x)-\cos x-xg'(0)}{x^2}$。此极限为0/0型，连续两次使用洛必达法则：第一次得 $\lim_{x\to 0}\frac{g'(x)-g'(0)+\sin x}{2x}$，第二次得 $\lim_{x\to 0}\frac{g''(x)+\cos x}{2}=\frac{g''(0)+1}{2}$。故 $f'(0)=\frac{1}{2}(g''(0)+1)$。
公式：$f'(0)=\frac{1}{2}(g''(0)+1)$
提示：注意使用洛必达法则时，需验证分子分母趋于0，且导数存在。
步骤 4/5
目标：写出f'(x)的分段表达式
综合以上，$f'(x)=\begin{cases} \frac{x(g'(x)+\sin x)-g(x)+\cos x}{x^2}, & x\neq 0 \\ \frac{1}{2}(g''(0)+1), & x=0 \end{cases}$。
提示：注意分段函数在分段点处的导数必须用定义单独计算。
步骤 5/5
目标：讨论f'(x)在x=0处的连续性
需验证 $\lim_{x\to 0}f'(x)=f'(0)$。计算 $\lim_{x\to 0}\frac{x(g'(x)+\sin x)-g(x)+\cos x}{x^2}$。分子分母趋于0，使用洛必达法则：$\lim_{x\to 0}\frac{x(g''(x)+\cos x)+g'(x)+\sin x - g'(x) - \sin x}{2x}=\lim_{x\to 0}\frac{x(g''(x)+\cos x)}{2x}=\lim_{x\to 0}\frac{g''(x)+\cos x}{2}=\frac{g''(0)+1}{2}=f'(0)$。故 $f'(x)$ 在 $x=0$ 处连续。
公式：$\lim_{x\to 0}f'(x)=\frac{g''(0)+1}{2}=f'(0)$
提示：注意洛必达法则使用后，分子中的 $g'(x)+\sin x$ 项相消，需仔细计算。
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