上册 3.1 一元函数的导数 第20题
📝 题目
20．设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 有二阶连续导数，且 $f(0)=0$ ．证 $\displaystyle g(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{f(x)}{x}, x \neq 0 \\ f^{\prime}(0), x=0\end{array}\right.$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内有连续的导数．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
当 $x \neq 0$ 时，$g(x)$ 是连续的．又
$$
\lim _{x \rightarrow 0} g(x)=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0}=f^{\prime}(0)=g(0) .
$$
这说明 $g(x)$ 在 $x=0$ 处连续．故 $g(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上连续．
当 $x \neq 0$ 时，$\displaystyle g^{\prime}(x)=\frac{x f^{\prime}(x)-f(x)}{x^{2}}$ ；
当 $x=0$ 时，$\displaystyle g^{\prime}(0)=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{g(x)-g(0)}{x-0}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\frac{f(x)}{x}-f^{\prime}(0)}{x}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-x f^{\prime}(0)}{x^{2}}$
$$
=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f^{\prime}(x)-f^{\prime}(0)}{2 x}=\frac{f^{\prime \prime}(0)}{2} .
$$
因此 $g(x)$ 在 $x=0$ 处可导。从而 $g(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上处处可导。
由于
$$
\lim _{x \rightarrow 0} g^{\prime}(x)=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x f^{\prime}(x)-f(x)}{x^{2}}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x f^{\prime \prime}(x)}{2 x}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f^{\prime \prime}(x)}{2}=\frac{f^{\prime \prime}(0)}{2}=g^{\prime}(0) .
$$
因此 $g^{\prime}(x)$ 在 $x=0$ 处连续，从而 $g^{\prime}(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上处处连续．
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：证明g(x)在x≠0处连续
当 $x \neq 0$ 时，$g(x)=\frac{f(x)}{x}$，由于 $f(x)$ 连续且 $x \neq 0$，故 $g(x)$ 连续。
提示：注意 $f(x)$ 连续，但 $g(x)$ 在 $x=0$ 处需单独处理。
步骤 2/6
目标：证明g(x)在x=0处连续
计算极限：$\lim_{x \to 0} g(x) = \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0} = f'(0) = g(0)$，因此 $g(x)$ 在 $x=0$ 处连续。
公式：$\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = f'(0)$
提示：利用导数定义，注意 $f(0)=0$。
步骤 3/6
目标：求x≠0时g(x)的导数
当 $x \neq 0$ 时，$g'(x) = \frac{x f'(x) - f(x)}{x^2}$。
公式：$\left(\frac{f(x)}{x}\right)' = \frac{x f'(x) - f(x)}{x^2}$
提示：使用商的求导法则。
步骤 4/6
目标：求g(x)在x=0处的导数
利用导数定义：$g'(0) = \lim_{x \to 0} \frac{g(x)-g(0)}{x-0} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{f(x)}{x} - f'(0)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{f(x) - x f'(0)}{x^2}$。应用洛必达法则（$f$ 二阶可导）：$\lim_{x \to 0} \frac{f'(x) - f'(0)}{2x} = \frac{f''(0)}{2}$。
公式：$g'(0) = \frac{f''(0)}{2}$
提示：注意使用洛必达法则的条件：$f$ 二阶连续可导，且分子分母趋于0。
步骤 5/6
目标：证明g'(x)在x=0处连续
计算 $\lim_{x \to 0} g'(x) = \lim_{x \to 0} \frac{x f'(x) - f(x)}{x^2}$。应用洛必达法则：$\lim_{x \to 0} \frac{x f''(x) + f'(x) - f'(x)}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{x f''(x)}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{f''(x)}{2} = \frac{f''(0)}{2} = g'(0)$。因此 $g'(x)$ 在 $x=0$ 处连续。
公式：$\lim_{x \to 0} g'(x) = g'(0)$
提示：洛必达法则使用两次，注意分子求导时 $f'(x)$ 项抵消。
步骤 6/6
目标：总结结论
由以上步骤，$g(x)$ 在 $(-\infty, +\infty)$ 上可导，且 $g'(x)$ 连续，故 $g(x)$ 有连续的导数。
提示：注意 $g'(x)$ 在 $x \neq 0$ 时由公式给出，在 $x=0$ 处由极限定义，且极限等于该值。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。