上册 3.1 一元函数的导数 第21题
📝 题目
21．设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{g(x)}{x}, x \neq 0, \\ 0, x=0,\end{array}\right.$ 且 $g(0)=g^{\prime}(0)=0, g^{\prime \prime}(0)=a$ ，求 $f^{\prime}(0) .(a=3$ ：燕山大学 2013，聊城大学 2007，湖北大学 2007，深圳大学 2004，北京工大 2006，上海理工 2005；$a=2$ ：三峡大学 2010）
💡 答案解析
解题过程：
$$
\begin{aligned}
f^{\prime}(0) & =\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(0)}{x}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\frac{g(x)}{x}-0}{x}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{g(x)}{x^{2}} \\
& =\lim _{x \rightarrow 0} \frac{g^{\prime}(x)}{2 x}=\frac{1}{2} \lim _{x \rightarrow 0} \frac{g^{\prime}(x)-g^{\prime}(0)}{x}=\frac{1}{2} g^{\prime \prime}(0)=\frac{a}{2} .
\end{aligned}
$$
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：写出导数定义式
根据导数定义，$f'(0) = \lim_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0)}{x}$。由于 $f(0)=0$，代入得 $f'(0) = \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x}$。
公式：$f'(0) = \lim_{x \to 0} \frac{f(x)-f(0)}{x}$
提示：注意 $f(0)=0$，不要忘记代入。
步骤 2/6
目标：代入函数表达式
当 $x \neq 0$ 时，$f(x) = \frac{g(x)}{x}$，所以 $f'(0) = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{g(x)}{x}}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{g(x)}{x^2}$。
提示：注意 $x$ 趋近于0，但 $x \neq 0$，所以分段函数定义有效。
步骤 3/6
目标：应用洛必达法则（第一次）
由于 $g(0)=0$，极限 $\lim_{x \to 0} \frac{g(x)}{x^2}$ 是 $\frac{0}{0}$ 型，可使用洛必达法则：$\lim_{x \to 0} \frac{g(x)}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{g'(x)}{2x}$。
公式：洛必达法则：$\lim \frac{0}{0}$ 型可对分子分母分别求导
提示：确保 $g(x)$ 在 $x=0$ 附近可导，且分母导数不为零。
步骤 4/6
目标：再次应用洛必达法则
由于 $g'(0)=0$，极限 $\lim_{x \to 0} \frac{g'(x)}{2x}$ 仍是 $\frac{0}{0}$ 型，再次使用洛必达法则：$\lim_{x \to 0} \frac{g'(x)}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{g''(x)}{2}$。
提示：注意 $g''(x)$ 在 $x=0$ 处连续吗？题目只给出 $g''(0)=a$，但未说明二阶导数连续，因此不能直接代入 $x=0$，需用导数定义。
步骤 5/6
目标：利用导数定义求极限
实际上，$\lim_{x \to 0} \frac{g'(x)}{2x} = \frac{1}{2} \lim_{x \to 0} \frac{g'(x) - g'(0)}{x} = \frac{1}{2} g''(0) = \frac{a}{2}$。这里使用了 $g'(0)=0$ 和二阶导数的定义。
公式：$g''(0) = \lim_{x \to 0} \frac{g'(x)-g'(0)}{x}$
提示：避免直接使用洛必达法则第二次，因为 $g''(x)$ 在 $x=0$ 处可能不连续。正确做法是转化为导数定义。
步骤 6/6
目标：得出最终结果
因此，$f'(0) = \frac{a}{2}$。
提示：最终结果与 $a$ 有关，注意题目中 $a$ 的值。
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