上册 3.1 一元函数的导数 第22题
📝 题目
22．如果 $f(x)$ 在 $x=0$ 的某邻域内连续，$f(0)=0$ 且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{1-\cos x}=2$ ．（1）求 $f^{\prime}(0)$ ；（2）求 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x^{2}}$ ；（3）证明：$f(x)$ 在点 $x=0$ 处取得极小值．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）由题设知
$$
\begin{aligned}
f^{\prime}(0) & =\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(0)}{x}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{1-\cos x} \cdot \frac{1-\cos x}{x} \\
& =\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{1-\cos x} \cdot \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos x}{x}=2 \cdot 0=0
\end{aligned}
$$
（2）由题设知 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x^{2}}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{1-\cos x} \cdot \frac{1-\cos x}{x^{2}}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{1-\cos x} \cdot \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos x}{x^{2}}=2 \cdot \frac{1}{2}=1$ ．
（3）由 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x^{2}}=1$ 和局部保号性定理，存在 $\delta>0$ ，当 $0<|x|<\delta$ 时有 $\displaystyle \frac{f(x)}{x^{2}}>\frac{1}{2}$ ，所以 $f(x)>f(0)=0$ ，即 $f(x)$ 在 $x=0$ 处取得极小值．
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：利用导数定义求f'(0)
由导数定义，$f'(0)=\lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{x}$，因为$f(0)=0$。将极限变形：$\frac{f(x)}{x}=\frac{f(x)}{1-\cos x}\cdot\frac{1-\cos x}{x}$。已知$\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{1-\cos x}=2$，且$\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x}=0$（因为$1-\cos x\sim \frac{x^2}{2}$，除以$x$趋于0）。因此$f'(0)=2\cdot 0=0$。
公式：$f'(0)=\lim_{x\to 0}\frac{f(x)-f(0)}{x}$
提示：注意$\frac{1-\cos x}{x}$的极限是0，不是$\frac{1}{2}$，因为分母是一次方。
步骤 2/3
目标：计算极限$\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{x^2}$
将极限变形：$\frac{f(x)}{x^2}=\frac{f(x)}{1-\cos x}\cdot\frac{1-\cos x}{x^2}$。已知$\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{1-\cos x}=2$，且$\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}$（因为$1-\cos x\sim \frac{x^2}{2}$）。因此$\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{x^2}=2\cdot\frac{1}{2}=1$。
公式：$\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}$
提示：注意$1-\cos x\sim \frac{x^2}{2}$，不要误用等价无穷小。
步骤 3/3
目标：利用极限的局部保号性证明极小值
由（2）知$\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{x^2}=1>0$，根据局部保号性定理，存在$\delta>0$，使得当$0<|x|<\delta$时，$\frac{f(x)}{x^2}>\frac{1}{2}>0$。由于$x^2>0$，所以$f(x)>0=f(0)$。因此$f(x)$在$x=0$处取得极小值。
公式：局部保号性：若$\lim_{x\to 0}g(x)=A>0$，则存在$\delta>0$，当$0<|x|<\delta$时$g(x)>\frac{A}{2}>0$。
提示：注意$f(0)=0$，且$f(x)>0$在去心邻域内成立，所以是极小值。
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