上册 3.1 一元函数的导数 第23题
📝 题目
23．求下列导数。
（1）设 $f(x) \in C(-\infty,+\infty)$ ，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 2} \frac{f(x)}{x-2}=2$ 。证明：$f(x)$ 在 $x=2$ 处可导，并求 $f^{\prime}(2)$ ．
（2）已知 $f(x)$ 在 $x=2$ 处连续，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 2} \frac{f(x)}{x-2}=1$ ．证明：$f(x)$ 在 $x=2$ 处可导．
（3）设 $f(x)$ 为 $(-1,1)$ 上的奇函数，$f^{\prime}(0)=2$ ．求 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{\mathrm{e}^{x}-1}$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）因为
$$
f(2)=\lim _{x \rightarrow 2} f(x)=\lim _{x \rightarrow 2} \frac{f(x)}{x-2}(x-2)=0, \lim _{x \rightarrow 2} \frac{f(x)-f(2)}{x-2}=\lim _{x \rightarrow 2} \frac{f(x)}{x-2}=2,
$$
所以 $f(x)$ 在 $x=2$ 处可导，且 $f^{\prime}(2)=2$ 。
（2）因为
$$
f(2)=\lim _{x \rightarrow 2} f(x)=\lim _{x \rightarrow 2} \frac{f(x)}{x-2}(x-2)=0, \lim _{x \rightarrow 2} \frac{f(x)-f(2)}{x-2}=\lim _{x \rightarrow 2} \frac{f(x)}{x-2}=1,
$$
所以 $f(x)$ 在 $x=2$ 处可导且 $f^{\prime}(2)=1$ ．
（3）因 $f(x)$ 为 $(-1,1)$ 上的奇函数，所以 $f(0)=-f(0), f(0)=0$ ．于是
$$
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{\mathrm{e}^{x}-1}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0} \cdot \frac{x}{\mathrm{e}^{x}-1}=f^{\prime}(0) \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x}{\mathrm{e}^{x}-1}=2 \lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{\mathrm{e}^{x}}=2 .
$$
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：证明f(2)=0
由条件 $\lim_{x \to 2} \frac{f(x)}{x-2}=2$ 且 $f(x)$ 连续，可得 $\lim_{x \to 2} f(x) = \lim_{x \to 2} \frac{f(x)}{x-2} \cdot (x-2) = 2 \cdot 0 = 0$，因此 $f(2)=0$。
公式：$\lim_{x \to 2} f(x) = \lim_{x \to 2} \frac{f(x)}{x-2} \cdot (x-2)$
提示：注意利用极限乘法法则时，要确保两个极限都存在。这里 $\lim_{x \to 2} (x-2)=0$，乘积为0。
步骤 2/7
目标：利用导数定义求f'(2)
由导数定义，$f'(2) = \lim_{x \to 2} \frac{f(x)-f(2)}{x-2} = \lim_{x \to 2} \frac{f(x)}{x-2} = 2$，故 $f(x)$ 在 $x=2$ 处可导且 $f'(2)=2$。
公式：$f'(2) = \lim_{x \to 2} \frac{f(x)-f(2)}{x-2}$
提示：注意 $f(2)=0$ 的代入，不要遗漏。
步骤 3/7
目标：证明f(2)=0（第二问）
由条件 $\lim_{x \to 2} \frac{f(x)}{x-2}=1$ 且 $f(x)$ 在 $x=2$ 处连续，得 $f(2)=\lim_{x \to 2} f(x) = \lim_{x \to 2} \frac{f(x)}{x-2} \cdot (x-2) = 1 \cdot 0 = 0$。
公式：同第一问
提示：注意连续性的使用：$\lim_{x \to 2} f(x) = f(2)$。
步骤 4/7
目标：利用导数定义求f'(2)（第二问）
由导数定义，$f'(2) = \lim_{x \to 2} \frac{f(x)-f(2)}{x-2} = \lim_{x \to 2} \frac{f(x)}{x-2} = 1$，故 $f(x)$ 在 $x=2$ 处可导且 $f'(2)=1$。
公式：$f'(2) = \lim_{x \to 2} \frac{f(x)-f(2)}{x-2}$
提示：注意与第一问的区别：极限值为1。
步骤 5/7
目标：利用奇函数性质求f(0)
因为 $f(x)$ 是 $(-1,1)$ 上的奇函数，所以 $f(0) = -f(0)$，解得 $f(0)=0$。
公式：奇函数性质：$f(-x) = -f(x)$
提示：注意奇函数在0点有定义时，$f(0)$ 必须为0。
步骤 6/7
目标：将极限转化为导数形式
所求极限 $\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{e^x-1} = \lim_{x \to 0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0} \cdot \frac{x}{e^x-1} = f'(0) \cdot \lim_{x \to 0} \frac{x}{e^x-1}$。
公式：$\frac{f(x)}{e^x-1} = \frac{f(x)-f(0)}{x} \cdot \frac{x}{e^x-1}$
提示：注意 $f(0)=0$ 的代入，以及 $e^x-1$ 在 $x=0$ 处为0，需要处理。
步骤 7/7
目标：计算极限并得出结果
已知 $f'(0)=2$，且 $\lim_{x \to 0} \frac{x}{e^x-1} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{e^x} = 1$（利用洛必达法则或等价无穷小），故原极限 $= 2 \times 1 = 2$。
公式：$\lim_{x \to 0} \frac{x}{e^x-1} = 1$
提示：注意 $\lim_{x \to 0} \frac{x}{e^x-1} = 1$ 是常用极限，也可用洛必达法则：分子分母同时求导得 $\frac{1}{e^x}$。
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