上册 3.1 一元函数的导数 第24题
📝 题目
24．求下列极限．
（1）设 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln \left(1+\frac{f(x)}{x}\right)}{a^{x}-1}=2,(a>0, a \neq 1)$ ，求 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x^{2}}$ ．
（2）已知 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln (1+f(x) \sin x)}{\tan x}=2$ ，求 $\lim _{x \rightarrow 0} f(x)$ 。西安电子科技 2005）
（3）设 $f(x)$ 在 $[-1,1]$ 上连续，且恒不为 0 ，求 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt[3]{1+f(x) \sin x}-1}{3^{x}-1}$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）由于 $a^{x}-1 \sim x \ln a, ~(x \rightarrow 0)$ ，所以
$$
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln \left(1+\frac{f(x)}{x}\right)}{a^{x}-1}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln \left(1+\frac{f(x)}{x}\right)}{x \ln a}=2 .
$$
于是 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln \left(1+\frac{f(x)}{x}\right)}{x}=2 \ln a$ ．
又 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln \left(1+\frac{f(x)}{x}\right)}{x}=\lim _{x \rightarrow 0} \ln \left(1+\frac{f(x)}{x}\right)^{\frac{x}{f(x)} \frac{f(x)}{x^{2}}}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x^{2}} \cdot \lim _{x \rightarrow 0} \ln \left(1+\frac{f(x)}{x}\right)^{\frac{x}{f(x)}}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x^{2}}$ ．
因此 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x^{2}}=2 \ln a$ ．
（2）由于 $\tan x \sim x, \ln (1+f(x) \sin x) \sim f(x) \sin x,(x \rightarrow 0)$ ，所以
$$
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln (1+f(x) \sin x)}{\tan x}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x) \sin x}{x}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x) x}{x}=\lim _{x \rightarrow 0} f(x)
$$
从而 $\lim _{x \rightarrow 0} f(x)=2$ ．
（3）由于 $\displaystyle 3^{x}-1 \sim x \ln 3, \sqrt[3]{1+f(x) \sin x}-1 \sim \frac{1}{3} f(x) \sin x,(x \rightarrow 0)$ ，所以
$$
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt[3]{1+f(x) \sin x}-1}{3^{x}-1}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x) \sin x}{3 x \ln 3}=\frac{f(0)}{3 \ln 3}
$$
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：利用等价无穷小化简分母
当 $x \to 0$ 时，$a^x - 1 \sim x \ln a$，因此原极限化为：
$$
\lim_{x \to 0} \frac{\ln\left(1+\frac{f(x)}{x}\right)}{a^x-1} = \lim_{x \to 0} \frac{\ln\left(1+\frac{f(x)}{x}\right)}{x \ln a} = 2.
$$
从而得到：
$$
\lim_{x \to 0} \frac{\ln\left(1+\frac{f(x)}{x}\right)}{x} = 2 \ln a.
$$
公式：$a^x - 1 \sim x \ln a$
提示：注意 $a>0, a\neq 1$，等价无穷小成立。
步骤 2/7
目标：变形极限表达式
将极限改写为：
$$
\lim_{x \to 0} \frac{\ln\left(1+\frac{f(x)}{x}\right)}{x} = \lim_{x \to 0} \ln\left(1+\frac{f(x)}{x}\right)^{\frac{1}{x}}.
$$
进一步，利用指数函数的性质：
$$
\ln\left(1+\frac{f(x)}{x}\right)^{\frac{1}{x}} = \frac{f(x)}{x^2} \cdot \frac{x}{f(x)} \ln\left(1+\frac{f(x)}{x}\right).
$$
令 $t = \frac{f(x)}{x}$，则当 $x \to 0$ 时，$t \to 0$（假设 $f(x)$ 满足条件），于是：
$$
\frac{x}{f(x)} \ln\left(1+\frac{f(x)}{x}\right) = \frac{\ln(1+t)}{t} \to 1.
$$
因此原极限等于 $\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x^2}$。
公式：$\lim_{t \to 0} \frac{\ln(1+t)}{t} = 1$
提示：注意 $\frac{f(x)}{x}$ 趋于0，否则不能使用该极限。
步骤 3/7
目标：得出结果
由前两步得：
$$
\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x^2} = 2 \ln a.
$$
提示：最终结果依赖于 $a$。
步骤 4/7
目标：利用等价无穷小化简（第二题）
当 $x \to 0$ 时，$\tan x \sim x$，$\ln(1+f(x)\sin x) \sim f(x)\sin x$（因为 $f(x)\sin x \to 0$），所以：
$$
\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+f(x)\sin x)}{\tan x} = \lim_{x \to 0} \frac{f(x)\sin x}{x}.
$$
公式：$\ln(1+u) \sim u$ 当 $u \to 0$
提示：需验证 $f(x)\sin x \to 0$，由极限存在可推得。
步骤 5/7
目标：进一步化简并求极限
由于 $\sin x \sim x$，所以：
$$
\lim_{x \to 0} \frac{f(x)\sin x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{f(x) x}{x} = \lim_{x \to 0} f(x).
$$
已知该极限等于2，因此：
$$
\lim_{x \to 0} f(x) = 2.
$$
公式：$\sin x \sim x$
提示：注意 $\frac{\sin x}{x} \to 1$，但这里直接约去 $x$ 需谨慎，实际上 $\frac{f(x)\sin x}{x} = f(x) \cdot \frac{\sin x}{x}$，极限为 $\lim f(x) \cdot 1$。
步骤 6/7
目标：利用等价无穷小化简（第三题）
当 $x \to 0$ 时，$3^x - 1 \sim x \ln 3$，且 $\sqrt[3]{1+f(x)\sin x} - 1 \sim \frac{1}{3} f(x)\sin x$（因为 $(1+u)^{1/3} - 1 \sim \frac{u}{3}$ 当 $u \to 0$），所以：
$$
\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt[3]{1+f(x)\sin x} - 1}{3^x - 1} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{3} f(x)\sin x}{x \ln 3}.
$$
公式：$(1+u)^\alpha - 1 \sim \alpha u$
提示：注意 $f(x)\sin x \to 0$，由 $f(x)$ 连续且 $f(0) \neq 0$ 可保证。
步骤 7/7
目标：利用连续性求极限
由于 $\sin x \sim x$，所以：
$$
\lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{3} f(x)\sin x}{x \ln 3} = \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{3 \ln 3} \cdot \frac{\sin x}{x} = \frac{f(0)}{3 \ln 3}.
$$
因为 $f$ 连续，$\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$。
公式：$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$
提示：最终结果依赖于 $f(0)$，题目未给出具体值，故保留。
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