上册 3.1 一元函数的导数 第25题
📝 题目
25．求下列导数．
（1）设 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin 6 x+x f(x)}{x^{3}}=0$ ，求 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{6+f(x)}{x^{2}}$ ．
（2）已知 $f(x)$ 满足 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin 3 x-x f(x)}{x^{3}}=0$ ，求 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{3-f(x)}{x^{2}}$ ．
（3）设 $f(x)$ 在点 $x=0$ 的某个邻域内二阶可导，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x+x f(x)}{x^{3}}=\frac{1}{2}$ ，试求 $f(0)$ ， $f^{\prime}(0), f^{\prime \prime}(0)$ 的值．
（4）设 $f(x)$ 在 $x=0$ 的某邻域内的二阶导数存在且连续， $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{\sin 3 x}{x^{3}}+\frac{f(x)}{x^{2}}\right)=0$ ，求 $f(0)$ ， $f^{\prime}(0), f^{\prime \prime}(0)$ ．
（5）设 $f(x)$ 在原点的邻域二次可导，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(1+x+\frac{f(x)}{x}\right)^{\frac{1}{x}}=\mathrm{e}^{3}$ ，求 $f(0), f^{\prime}(0), f^{\prime \prime}(0)$ 。华中师大2005，武汉理工 2004）
（6）设函数 $f(x)$ 有连续导数，$\displaystyle F(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{f(x)+2 \ln (1+x)}{x}, x \neq 0 \\ 1, x=0\end{array}\right.$ 在 $x=0$ 连续，求 $f^{\prime}(0)$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{6+f(x)}{x^{2}}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{6 x+x f(x)+\sin 6 x-\sin 6 x}{x^{3}}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{6 x-\sin 6 x}{x^{3}}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{6-6 \cos 6 x}{3 x^{2}}$
$$
=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{36 \sin 6 x}{6 x}=36
$$
（2） $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{3-f(x)}{x^{2}}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{3 x-x f(x)+\sin 3 x-\sin 3 x}{x^{3}}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{3 x-\sin 3 x}{x^{3}}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{3-3 \cos 3 x}{3 x^{2}}$
$$
=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{9 \sin 3 x}{6 x}=\frac{9}{2}
$$
（3）因为 $\displaystyle f(x)=f(0)+f^{\prime}(0) x+\frac{1}{2} f^{\prime \prime}(0) x^{2}+o\left(x^{2}\right), \sin x=x-\frac{1}{3!} x^{3}+o\left(x^{3}\right)$ ，所以
$$
\begin{aligned}
\frac{1}{2} & =\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x+x f(x)}{x^{3}}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x+f(0) x+f^{\prime}(0) x^{2}+\frac{1}{2} f^{\prime \prime}(0) x^{3}}{x^{3}} \\
& =\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(1+f(0)) x+f^{\prime}(0) x^{2}+\left(\frac{1}{2} f^{\prime \prime}(0)-\frac{1}{3!}\right) x^{3}}{x^{3}} .
\end{aligned}
$$
于是 $\displaystyle 1+f(0)=0, f^{\prime}(0)=0, \frac{1}{2} f^{\prime \prime}(0)-\frac{1}{3!}=\frac{1}{2}$ ，即 $\displaystyle f(0)=-1, f^{\prime}(0)=0, f^{\prime \prime}(0)=\frac{4}{3}$ ．
（4）用（3）类似的方法可求得 $f(0)=-3, f^{\prime}(0)=0, f^{\prime \prime}(0)=9$ ．
（5）因为 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(1+x+\frac{f(x)}{x}\right)^{\frac{1}{x}}=\lim _{x \rightarrow 0}\left(1+x+\frac{f(x)}{x}\right)^{\frac{x}{x^{2}+f(x)} \cdot \frac{x^{2}+f(x)}{x^{2}}}=\mathrm{e}^{3}$ ，所以 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^{2}+f(x)}{x^{2}}=3$ ．
又因为 $\displaystyle f(x)=f(0)+f^{\prime}(0) x+\frac{1}{2} f^{\prime \prime}(0) x^{2}+o\left(x^{2}\right)$ ，故
$$
3=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^{2}+f(x)}{x^{2}}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(0)+f^{\prime}(0) x+\left(1+\frac{1}{2} f^{\prime \prime}(0)\right) x^{2}}{x^{2}} .
$$
由此得 $\displaystyle f(0)=0, f^{\prime}(0)=0,1+\frac{1}{2} f^{\prime \prime}(0)=3, f^{\prime \prime}(0)=4$ 。
（6）因为
$$
\lim _{x \rightarrow 0} F(x)=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)+2 \ln (1+x)}{x}=\lim _{x \rightarrow 0}\left(f^{\prime}(x)+\frac{2}{1+x}\right)=f^{\prime}(0)+2=F(0)=1,
$$
所以 $f^{\prime}(0)=-1$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析已知极限并变形
已知 $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin 6x + x f(x)}{x^3} = 0$，要求 $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{6 + f(x)}{x^2}$。将分子加上 $6x$ 再减去 $\sin 6x$：
$$\frac{6 + f(x)}{x^2} = \frac{6x + x f(x)}{x^3} = \frac{6x - \sin 6x + \sin 6x + x f(x)}{x^3} = \frac{6x - \sin 6x}{x^3} + \frac{\sin 6x + x f(x)}{x^3}.$$
提示：注意拆分时保持恒等变形，不要遗漏项。
步骤 2/5
目标：利用已知极限化简
由已知条件，$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin 6x + x f(x)}{x^3} = 0$，所以
$$\lim_{x \to 0} \frac{6 + f(x)}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{6x - \sin 6x}{x^3}.$$
提示：注意极限的加法法则，前提是各部分极限存在。
步骤 3/5
目标：应用洛必达法则求极限
计算 $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{6x - \sin 6x}{x^3}$，该极限为 $\frac{0}{0}$ 型，使用洛必达法则：
$$\lim_{x \to 0} \frac{6x - \sin 6x}{x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{6 - 6\cos 6x}{3x^2}.$$
公式：洛必达法则：$\lim \frac{f(x)}{g(x)} = \lim \frac{f'(x)}{g'(x)}$（满足条件时）
提示：注意检查洛必达法则的使用条件：$0/0$ 或 $\infty/\infty$ 型，且导数极限存在。
步骤 4/5
目标：再次应用洛必达法则
继续对 $\frac{6 - 6\cos 6x}{3x^2}$ 使用洛必达法则：
$$\lim_{x \to 0} \frac{6 - 6\cos 6x}{3x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{36\sin 6x}{6x}.$$
提示：注意求导要准确：$(\cos 6x)' = -6\sin 6x$。
步骤 5/5
目标：利用重要极限求值
利用 $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sin 6x}{6x} = 1$，得
$$\lim_{x \to 0} \frac{36\sin 6x}{6x} = 36 \cdot 1 = 36.$$
公式：$\lim_{u \to 0} \frac{\sin u}{u} = 1$
提示：注意将 $\sin 6x$ 与 $6x$ 配对，系数不要算错。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。