上册 3.1 一元函数的导数 第26题
📝 题目
26．求下列极限．
（1）已知 $f(0)=0, f^{\prime}(0)=0$ 存在，求极限： $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} x^{f(x)}$ 。
（2）设函数 $f(x)$ 具有二阶连续导数，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=0, f^{\prime \prime}(0)=4$ 。求 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0}\left(1+\frac{f(x)}{x}\right)^{\frac{1}{x}}$ ．
（3）设 $f(x)$ 在 $x=0$ 的某邻域内有连续的一阶导数，$f^{\prime}(0)=0, f^{\prime \prime}(0)=0$ ．试求 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(\ln (1+x))}{x^{3}}$ ．
（4）设非负连续函数 $f(x)$ 满足 $f(0)=0, f^{\prime}(0)$ 存在。求 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt[n]{1+f(x)}-1}{x}$ ．（浙江工商 2014）
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）因为
$$
\lim _{x \rightarrow 0^{+}}(f(x) \ln x)=\lim _{x \rightarrow 0^{+}}\left(\frac{f(x)-f(0)}{x-0} \cdot(x \ln x)\right)=f^{\prime}(0) \cdot 0=0,
$$
所以 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} x^{f(x)}=\mathrm{e}^{0}=1$ ．
（2）$\displaystyle f(0)=\lim _{x \rightarrow 0} f(x)=\lim _{x \rightarrow 0} x \cdot \frac{f(x)}{x}=0, f^{\prime}(0)=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(0)}{x}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=0$ ．
由
$$
f(x)=f(0)+f^{\prime}(0) x+\frac{1}{2} f^{\prime \prime}(0) x^{2}+o\left(x^{2}\right)=2 x^{2}+o\left(x^{2}\right)
$$
得 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x^{2}}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{2 x^{2}}{x^{2}}=2$ ．因此
$$
\lim _{x \rightarrow 0}\left(1+\frac{f(x)}{x}\right)^{\frac{1}{x}}=\lim _{x \rightarrow 0}\left(1+\frac{f(x)}{x}\right)^{\frac{x}{f(x)} \cdot \frac{f(x)}{x^{2}}}=\mathrm{e}^{\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x^{2}} \ln \left(1+\frac{f(x)}{x}\right)^{\frac{x}{f(x)}}}=\mathrm{e}^{\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x^{2}}}=\mathrm{e}^{2}
$$
（3）由中值定理得
$$
\begin{aligned}
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(\ln (1+x))}{x^{3}} & =\lim _{x \rightarrow 0} f^{\prime}(\xi) \frac{x-\ln (1+x)}{x^{3}}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f^{\prime}(\xi)}{x} \cdot \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x-\ln (1+x)}{x^{2}} \\
& =f^{\prime \prime}(0) \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x-\left(x-\frac{1}{2} x^{2}+o\left(x^{2}\right)\right)}{x^{2}}=\frac{1}{2} f^{\prime \prime}(0)
\end{aligned}
$$
其中 $\xi$ 在 $\ln (1+x)$ 与 $x$ 之间．
（4）因为 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(0)}{x}=f^{\prime}(0)$ ．由中值定理得
$$
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt[n]{1+f(x)}-1}{x}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{n} \xi^{\frac{1}{n}-1} \cdot \frac{f(x)}{x}=\frac{1}{n} f^{\prime}(0) \text {, 其中 } \xi \text { 在 } 1 \text { 与 } 1+f(x) \text { 之间. }
$$
📋 详细解题步骤
步骤 1/14
目标：将极限转化为指数形式
考虑 $x^{f(x)} = e^{f(x) \ln x}$，因此原极限转化为求 $\lim_{x \to 0^+} f(x) \ln x$。
公式：$a^b = e^{b \ln a}$
提示：注意 $x \to 0^+$，$\ln x \to -\infty$，需要小心处理。
步骤 2/14
目标：利用导数定义计算极限
由于 $f(0)=0$，$f'(0)$ 存在，有 $f(x) = f'(0)x + o(x)$。则 $f(x) \ln x = f'(0) x \ln x + o(x \ln x)$。而 $\lim_{x \to 0^+} x \ln x = 0$，故 $\lim_{x \to 0^+} f(x) \ln x = 0$。
公式：$\lim_{x \to 0^+} x \ln x = 0$
提示：注意 $x \ln x$ 的极限是 $0$，这是常用结论。
步骤 3/14
目标：得出极限值
因此 $\lim_{x \to 0^+} x^{f(x)} = e^0 = 1$。
提示：指数部分极限为0，结果为1。
步骤 4/14
目标：确定 $f(0)$ 和 $f'(0)$
由 $\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x}=0$ 得 $f(0)=0$，且 $f'(0)=\lim_{x \to 0} \frac{f(x)-f(0)}{x}=0$。
公式：导数定义
提示：注意极限存在且为0，说明分子趋于0的速度快于分母。
步骤 5/14
目标：利用泰勒展开求 $f(x)$ 的近似
由 $f''(0)=4$，泰勒展开得 $f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{1}{2}f''(0)x^2+o(x^2)=2x^2+o(x^2)$，故 $\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x^2}=2$。
公式：泰勒公式：$f(x)=f(0)+f'(0)x+\frac{1}{2}f''(0)x^2+o(x^2)$
提示：注意展开到二阶，因为一阶导数为0。
步骤 6/14
目标：将极限化为 $e$ 的指数形式
原极限 $\lim_{x \to 0} \left(1+\frac{f(x)}{x}\right)^{\frac{1}{x}} = \lim_{x \to 0} \left(1+\frac{f(x)}{x}\right)^{\frac{x}{f(x)} \cdot \frac{f(x)}{x^2}} = e^{\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x^2} \cdot \ln\left(1+\frac{f(x)}{x}\right)^{\frac{x}{f(x)}}}$。由于 $\frac{f(x)}{x} \to 0$，$\ln(1+u) \sim u$，故 $\ln\left(1+\frac{f(x)}{x}\right)^{\frac{x}{f(x)}} = \frac{x}{f(x)} \ln\left(1+\frac{f(x)}{x}\right) \to 1$。
公式：$\lim_{u \to 0} \frac{\ln(1+u)}{u}=1$
提示：注意 $\frac{f(x)}{x} \to 0$，所以可以用等价无穷小。
步骤 7/14
目标：计算最终极限
因此原极限 $= e^{\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x^2}} = e^2$。
提示：注意指数部分极限为2。
步骤 8/14
目标：应用拉格朗日中值定理
存在 $\xi$ 介于 $\ln(1+x)$ 与 $x$ 之间，使得 $f(x)-f(\ln(1+x)) = f'(\xi)(x-\ln(1+x))$。则原极限 $= \lim_{x \to 0} f'(\xi) \cdot \frac{x-\ln(1+x)}{x^3}$。
公式：拉格朗日中值定理：$f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)$
提示：注意 $\xi$ 依赖于 $x$，且当 $x \to 0$ 时 $\xi \to 0$。
步骤 9/14
目标：分别处理两个因子
由于 $f'(0)=0$，$f''(0)=0$，由导数定义，$\lim_{x \to 0} \frac{f'(\xi)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{f'(\xi)-f'(0)}{\xi} \cdot \frac{\xi}{x} = f''(0) \cdot 1 = 0$。但这里需要更精确：实际上 $f'(\xi) = f'(0)+f''(0)\xi+o(\xi)=o(\xi)$，而 $\xi \sim x$，故 $f'(\xi)=o(x)$，所以 $\frac{f'(\xi)}{x} \to 0$。但原极限中还有 $\frac{x-\ln(1+x)}{x^2}$ 因子。
提示：注意 $f''(0)=0$，所以 $f'(\xi)$ 是比 $\xi$ 高阶的无穷小。
步骤 10/14
目标：计算 $\frac{x-\ln(1+x)}{x^2}$ 的极限
利用泰勒展开：$\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+o(x^2)$，则 $x-\ln(1+x)=\frac{x^2}{2}+o(x^2)$，故 $\lim_{x \to 0} \frac{x-\ln(1+x)}{x^2} = \frac{1}{2}$。
公式：$\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+o(x^2)$
提示：注意展开到二阶。
步骤 11/14
目标：合并结果
原极限 $= \lim_{x \to 0} \frac{f'(\xi)}{x} \cdot \frac{x-\ln(1+x)}{x^2} = 0 \cdot \frac{1}{2} = 0$。但答案中写的是 $\frac{1}{2}f''(0)$，这里 $f''(0)=0$，所以结果为0。注意：原题条件 $f''(0)=0$，所以最终极限为0。
提示：注意条件 $f''(0)=0$，所以结果为0。
步骤 12/14
目标：利用导数定义求 $\frac{f(x)}{x}$ 的极限
由 $f(0)=0$，$f'(0)$ 存在，得 $\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = f'(0)$。
公式：导数定义
提示：注意 $f$ 非负连续，但这里不需要。
步骤 13/14
目标：应用拉格朗日中值定理于分子
令 $g(t)=\sqrt[n]{t}$，则 $\sqrt[n]{1+f(x)}-1 = g(1+f(x))-g(1) = g'(\xi)(f(x))$，其中 $\xi$ 介于 $1$ 与 $1+f(x)$ 之间。$g'(\xi)=\frac{1}{n}\xi^{\frac{1}{n}-1}$，当 $x \to 0$ 时 $\xi \to 1$，故 $g'(\xi) \to \frac{1}{n}$。
公式：拉格朗日中值定理：$g(b)-g(a)=g'(\xi)(b-a)$
提示：注意 $\xi$ 依赖于 $x$，但极限为 $1$。
步骤 14/14
目标：计算极限
原极限 $= \lim_{x \to 0} \frac{g'(\xi) f(x)}{x} = \lim_{x \to 0} g'(\xi) \cdot \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{x} = \frac{1}{n} \cdot f'(0)$。
提示：注意 $g'(\xi)$ 的极限为 $\frac{1}{n}$。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。