上册 3.1 一元函数的导数 第28题
📝 题目
28．求下列函数的高阶导数。
（1）设 $\displaystyle y=\frac{1}{1-x^{2}}$ ，求 $y^{(n)}(x)$ ．
（2）设 $\displaystyle y(x)=\frac{1}{x-x^{2}}$ ，求 $y^{(n)}(x)$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）利用恒等式 $\displaystyle y=\frac{1}{1-x^{2}}=\frac{1}{(1-x)(1+x)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1-x}+\frac{1}{1+x}\right)$ 得
$\displaystyle y^{(n)}=\frac{1}{2}\left[\left(\frac{1}{1-x}\right)^{(n)}+\left(\frac{1}{1+x}\right)^{(n)}\right]=\frac{1}{2}\left[\frac{n!}{(1-x)^{n+1}}+(-1)^{n} \frac{n!}{(1+x)^{n+1}}\right]=\frac{n!}{2}\left[\frac{1}{(1-x)^{n+1}}+(-1)^{n} \frac{1}{(1+x)^{n+1}}\right]$ ．
（2）利用恒等式 $\displaystyle y=\frac{1}{x-x^{2}}=\frac{1}{x(1-x)}=\frac{1}{1-x}+\frac{1}{x}$ 得
$$
y^{(n)}=\left(\frac{1}{1-x}\right)^{(n)}+\left(\frac{1}{x}\right)^{(n)}=\frac{n!}{(1-x)^{n+1}}+(-1)^{n} \frac{n!}{x^{n+1}}=n!\left[\frac{1}{(1-x)^{n+1}}+\frac{(-1)^{n}}{x^{n+1}}\right] .
$$
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：分解有理函数（第一题）
将 $y=\frac{1}{1-x^2}$ 分解为部分分式：$\frac{1}{1-x^2} = \frac{1}{(1-x)(1+x)} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{1-x} + \frac{1}{1+x}\right)$。
公式：$\frac{1}{1-x^2} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{1-x} + \frac{1}{1+x}\right)$
提示：注意分解时系数 $\frac{1}{2}$ 不要遗漏。
步骤 2/7
目标：求 $\frac{1}{1-x}$ 的 n 阶导数
已知 $\frac{1}{1-x} = (1-x)^{-1}$，其 n 阶导数为 $\left(\frac{1}{1-x}\right)^{(n)} = \frac{n!}{(1-x)^{n+1}}$。
公式：$\left(\frac{1}{1-x}\right)^{(n)} = \frac{n!}{(1-x)^{n+1}}$
提示：注意符号：$(1-x)^{-1}$ 的导数每次乘以 $-1$，但最终结果为正。
步骤 3/7
目标：求 $\frac{1}{1+x}$ 的 n 阶导数
类似地，$\frac{1}{1+x} = (1+x)^{-1}$，其 n 阶导数为 $\left(\frac{1}{1+x}\right)^{(n)} = (-1)^n \frac{n!}{(1+x)^{n+1}}$。
公式：$\left(\frac{1}{1+x}\right)^{(n)} = (-1)^n \frac{n!}{(1+x)^{n+1}}$
提示：注意 $(-1)^n$ 因子，因为每次求导多一个负号。
步骤 4/7
目标：组合得到第一题答案
由线性性质，$y^{(n)} = \frac{1}{2}\left[\frac{n!}{(1-x)^{n+1}} + (-1)^n \frac{n!}{(1+x)^{n+1}}\right] = \frac{n!}{2}\left[\frac{1}{(1-x)^{n+1}} + (-1)^n \frac{1}{(1+x)^{n+1}}\right]$。
公式：$y^{(n)} = \frac{n!}{2}\left[\frac{1}{(1-x)^{n+1}} + (-1)^n \frac{1}{(1+x)^{n+1}}\right]$
提示：最终结果可以提取公因子 $\frac{n!}{2}$。
步骤 5/7
目标：分解有理函数（第二题）
将 $y=\frac{1}{x-x^2}$ 分解：$\frac{1}{x-x^2} = \frac{1}{x(1-x)} = \frac{1}{x} + \frac{1}{1-x}$。
公式：$\frac{1}{x-x^2} = \frac{1}{x} + \frac{1}{1-x}$
提示：注意分解时符号：$\frac{1}{x(1-x)} = \frac{1}{x} + \frac{1}{1-x}$，可通过通分验证。
步骤 6/7
目标：求 $\frac{1}{x}$ 的 n 阶导数
$\frac{1}{x} = x^{-1}$，其 n 阶导数为 $\left(\frac{1}{x}\right)^{(n)} = (-1)^n \frac{n!}{x^{n+1}}$。
公式：$\left(\frac{1}{x}\right)^{(n)} = (-1)^n \frac{n!}{x^{n+1}}$
提示：注意 $(-1)^n$ 因子，因为 $x^{-1}$ 的导数每次多一个负号。
步骤 7/7
目标：组合得到第二题答案
利用线性性质，$y^{(n)} = \left(\frac{1}{1-x}\right)^{(n)} + \left(\frac{1}{x}\right)^{(n)} = \frac{n!}{(1-x)^{n+1}} + (-1)^n \frac{n!}{x^{n+1}} = n!\left[\frac{1}{(1-x)^{n+1}} + \frac{(-1)^n}{x^{n+1}}\right]$。
公式：$y^{(n)} = n!\left[\frac{1}{(1-x)^{n+1}} + \frac{(-1)^n}{x^{n+1}}\right]$
提示：注意 $\frac{1}{1-x}$ 的 n 阶导数没有 $(-1)^n$ 因子。
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