上册 3.1 一元函数的导数 第29题
📝 题目
29．求下列函数的高阶导数．
（1）设 $f(x)=x^{2} \mathrm{e}^{-x}$ ，求 $f^{(8)}(x)$ ．
（2）设 $f(x)=x^{2} \cos 3 x$ ，求 $f^{(50)}(x)$ ．
（3）设 $f(x)=\left(3 x^{2}-2\right) \sin 2 x$ ，求 $f^{(100)}(x)$ ．
（4）设 $y=\mathrm{e}^{a x} \sin b x$ ，求 $f^{(n)}(x)$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
由 Leibniz 公式得：
（1）$f^{(8)}(x)=\mathrm{C}_{8}^{0}\left(x^{2}\right)^{(0)}\left(\mathrm{e}^{-x}\right)^{(8)}+\mathrm{C}_{8}^{1}\left(x^{2}\right)^{(1)}\left(\mathrm{e}^{-x}\right)^{(7)}+\mathrm{C}_{8}^{2}\left(x^{2}\right)^{(2)}\left(\mathrm{e}^{-x}\right)^{(6)}=x^{2} \mathrm{e}^{-x}-16 x \mathrm{e}^{-x}+56 \mathrm{e}^{-x}$ ．
（2）令 $u=x^{2}, v=\cos 3 x$ ，则 $\displaystyle u^{\prime}=2 x, u^{\prime \prime}=2, u^{(n)}=0, n \geqslant 3, v^{(n)}=3^{n} \cos \left(3 x+\frac{n \pi}{2}\right)$ ．所以
$$
\begin{aligned}
f^{(50)}(x) & =\sum_{n=0}^{50} \mathrm{C}_{50}^{n} u^{(n)} v^{(50-n)} \\
& =x^{2} \cdot 3^{50} \cos (3 x+25 \pi)+\mathrm{C}_{50}^{1} 2 x \cdot 3^{49} \cos \left(3 x+\frac{49}{2} \pi\right)+\mathrm{C}_{50}^{2} 2 \cdot 3^{48} \cos (3 x+24 \pi) \\
& =-x^{2} \cdot 3^{50} \cos 3 x-\mathrm{C}_{50}^{1} 2 x \cdot 3^{49} \sin 3 x+\mathrm{C}_{50}^{2} 2 \cdot 3^{48} \cos 3 x
\end{aligned}
$$
（3）令 $u=3 x^{2}-2, v=\sin 2 x$ ，则 $\displaystyle u^{\prime}=6 x, u^{\prime \prime}=6, u^{(n)}=0, n \geqslant 3, v^{(n)}=2^{n} \sin \left(2 x+\frac{n \pi}{2}\right)$ ．所以
$$
\begin{aligned}
f^{(100)}(x) & =\sum_{n=0}^{100} C_{100}^{n} u^{(n)} v^{(100-n)} \\
& =\left(3 x^{2}-2\right) \cdot 2^{100} \sin (2 x+50 \pi)+C_{100}^{1} 6 x \cdot 2^{99} \sin \left(2 x+\frac{99}{2} \pi\right)+C_{100}^{2} 6 \cdot 2^{98} \sin (2 x+49 \pi) \\
& =\left(3 x^{2}-2\right) \cdot 2^{100} \sin 2 x-C_{100}^{1} 6 x \cdot 2^{99} \cos 2 x-C_{100}^{2} 6 \cdot 2^{98} \sin 2 x
\end{aligned}
$$
（4）令 $f(x)=\mathrm{e}^{a x} \sin b x$ ，则
$$
f^{\prime}(x)=\mathrm{e}^{a x}(a \sin b x+b \cos b x)=\mathrm{e}^{a x}\left(a^{2}+b^{2}\right)^{\frac{1}{2}}\left(\frac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \sin b x+\frac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}} \cos b x\right)
$$
$$
=\left(a^{2}+b^{2}\right)^{\frac{1}{2}} \mathrm{e}^{a x}(\cos \varphi \sin b x+\sin \varphi \cos b x)=\left(a^{2}+b^{2}\right)^{\frac{1}{2}} \mathrm{e}^{a x} \sin (b x+\varphi)
$$
其中 $\displaystyle \cos \varphi=\frac{a}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}, \sin \varphi=\frac{b}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}, \varphi=\arctan \frac{b}{a}$ ．
反复上述做法 $n$ 次得 $\displaystyle f^{(n)}(x)=\left(a^{2}+b^{2}\right)^{\frac{n}{2}} \mathrm{e}^{a x} \sin (b x+n \varphi)$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/10
目标：应用莱布尼茨公式
对于函数 $f(x)=x^{2} \mathrm{e}^{-x}$，设 $u=x^{2}$，$v=\mathrm{e}^{-x}$。由莱布尼茨公式：
$$f^{(n)}(x)=\sum_{k=0}^{n} C_{n}^{k} u^{(k)} v^{(n-k)}$$
这里 $n=8$，且 $u$ 的三阶及以上导数为零，所以只需 $k=0,1,2$ 三项。
公式：莱布尼茨公式：$(uv)^{(n)}=\sum_{k=0}^{n} C_n^k u^{(k)} v^{(n-k)}$
提示：注意 $u$ 的高阶导数为零，减少计算项数。
步骤 2/10
目标：计算各阶导数
计算 $u$ 和 $v$ 的各阶导数：
$u=x^{2}$，$u'=2x$，$u''=2$，$u^{(k)}=0$ 当 $k\ge 3$。
$v=\mathrm{e}^{-x}$，$v^{(k)}=(-1)^k \mathrm{e}^{-x}$。
提示：注意 $\mathrm{e}^{-x}$ 的 $k$ 阶导数为 $(-1)^k \mathrm{e}^{-x}$。
步骤 3/10
目标：代入莱布尼茨公式
代入 $n=8$：
$$f^{(8)}(x)=C_8^0 x^2 \cdot (-1)^8 \mathrm{e}^{-x} + C_8^1 \cdot 2x \cdot (-1)^7 \mathrm{e}^{-x} + C_8^2 \cdot 2 \cdot (-1)^6 \mathrm{e}^{-x}$$
计算组合数：$C_8^0=1$，$C_8^1=8$，$C_8^2=28$。
提示：注意符号：$(-1)^8=1$，$(-1)^7=-1$，$(-1)^6=1$。
步骤 4/10
目标：化简结果
化简得：
$$f^{(8)}(x)=x^2 \mathrm{e}^{-x} - 16x \mathrm{e}^{-x} + 56 \mathrm{e}^{-x} = \mathrm{e}^{-x}(x^2 - 16x + 56)$$
提示：合并同类项时注意系数。
步骤 5/10
目标：第二题：应用莱布尼茨公式
对于 $f(x)=x^{2} \cos 3x$，设 $u=x^{2}$，$v=\cos 3x$。$u$ 的三阶及以上导数为零。$v$ 的 $n$ 阶导数为：$v^{(n)}=3^{n} \cos(3x + \frac{n\pi}{2})$。
公式：$(\cos ax)^{(n)}=a^n \cos(ax + \frac{n\pi}{2})$
提示：注意余弦函数的导数公式，相位变化。
步骤 6/10
目标：代入 n=50
$$f^{(50)}(x)=\sum_{k=0}^{2} C_{50}^{k} u^{(k)} v^{(50-k)}$$
计算各项：
$k=0$：$C_{50}^0 x^2 \cdot 3^{50} \cos(3x+25\pi) = x^2 3^{50} \cos(3x+25\pi)$
$k=1$：$C_{50}^1 \cdot 2x \cdot 3^{49} \cos(3x+\frac{49\pi}{2})$
$k=2$：$C_{50}^2 \cdot 2 \cdot 3^{48} \cos(3x+24\pi)$
提示：注意 $\cos(\theta+25\pi)=\cos(\theta+\pi)=-\cos\theta$，$\cos(\theta+\frac{49\pi}{2})=\cos(\theta+\frac{\pi}{2}+24\pi)=-\sin\theta$，$\cos(\theta+24\pi)=\cos\theta$。
步骤 7/10
目标：化简结果
化简得：
$$f^{(50)}(x)=-x^2 3^{50} \cos 3x - 100x \cdot 3^{49} \sin 3x + 2450 \cdot 3^{48} \cos 3x$$
其中 $C_{50}^1=50$，$C_{50}^2=1225$。
提示：注意组合数计算和符号。
步骤 8/10
目标：第三题：类似方法
对于 $f(x)=(3x^2-2)\sin 2x$，设 $u=3x^2-2$，$v=\sin 2x$。$u$ 的三阶及以上导数为零。$v^{(n)}=2^n \sin(2x+\frac{n\pi}{2})$。代入 $n=100$，类似化简得：
$$f^{(100)}(x)=(3x^2-2)2^{100}\sin 2x - 600x \cdot 2^{99}\cos 2x - 29700 \cdot 2^{98}\sin 2x$$
其中 $C_{100}^1=100$，$C_{100}^2=4950$。
提示：注意 $\sin(\theta+50\pi)=\sin\theta$，$\sin(\theta+\frac{99\pi}{2})=\sin(\theta+\frac{3\pi}{2}+48\pi)=-\cos\theta$，$\sin(\theta+49\pi)=\sin(\theta+\pi)=-\sin\theta$。
步骤 9/10
目标：第四题：归纳法求n阶导数
设 $f(x)=\mathrm{e}^{ax}\sin bx$。求一阶导数：
$$f'(x)=\mathrm{e}^{ax}(a\sin bx + b\cos bx) = \sqrt{a^2+b^2}\mathrm{e}^{ax}\sin(bx+\varphi)$$
其中 $\varphi=\arctan\frac{b}{a}$，且 $\cos\varphi=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$，$\sin\varphi=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$。
公式：辅助角公式：$A\sin\theta+B\cos\theta=\sqrt{A^2+B^2}\sin(\theta+\varphi)$
提示：注意 $\varphi$ 的取值由 $a,b$ 符号决定。
步骤 10/10
目标：归纳得到n阶导数
重复上述过程，每求一次导数，振幅乘以 $\sqrt{a^2+b^2}$，相位增加 $\varphi$。因此：
$$f^{(n)}(x)=(a^2+b^2)^{n/2}\mathrm{e}^{ax}\sin(bx+n\varphi)$$
提示：可用数学归纳法严格证明。
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