上册 3.1 一元函数的导数 第30题
📝 题目
30．求下列函数的高阶导数．
（1）设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{\sin x}{x}, x \neq 0, \\ 1, x=0,\end{array}\right.$ 求 $f^{(n)}(0)$ 其中 $n \in \mathbf{N}$ ．
（2）设 $f(x)=(\arcsin x)^{2}$ ，求 $f^{(n)}(0)$ ．（海南大学 2010，大连理工 2006（n＝3））
（3）设 $f(x)=x \arccos x$ ，求 $f^{(n)}(0)$ 。
（4）设 $f(x)=\sin x^{2}$ ，求 $f^{(n)}(0)$ ．
（5）设 $f(x)=x^{3} \mathrm{e}^{-x^{2}}$ ，求 $f^{(n)}(0)$ 。
（6）设 $\displaystyle f(x)=\arctan \frac{1+x^{2}}{1-x^{2}}$ ，求 $f^{(n)}(0)$ ．
（7）设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{\mathrm{e}^{x}-1}{x}, x \neq 0, \\ 1, x=0,\end{array}\right.$ 求 $f^{(n)}(0)$ ．
（8）设 $\displaystyle f(x)=\frac{x^{5}}{\sqrt{1+x^{2}}} \cdot \frac{\sin ^{4} x}{1+\cos ^{2} x}$ ，求 $f^{(6)}(0), \int_{-1}^{1} f^{(6)}(x) \mathrm{d} x$ ．
（9）设 $f(x)=\mathrm{e}^{x^{2}} \sin x$ ，求 $f^{(2012)}(0)$ ．
（10）设 $f(x)=x^{4} \mathrm{e}^{x}$ ，求 $f^{(n)}(0) .(n=2006$ ：地质大学 2006 ，山东科技 $2010, n=100$ ：江苏大学 2014）
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）方法 1：由 $\displaystyle \sin x=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{x^{2 n-1}}{(2 n-1)!}$ 得 $\displaystyle \frac{\sin x}{x}=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{x^{2 n-2}}{(2 n-1)!}$ 。再由泰勒系数公式得
$$
\frac{f^{(2 n-2)}(0)}{(2 n-2)!}=\frac{(-1)^{n-1}}{(2 n-1)!}, \frac{f^{(2 n-1)}(0)}{(2 n-1)!}=0 .
$$
于是 $\displaystyle f^{(2 n-2)}(0)=\frac{(-1)^{n-1}}{2 n-1}, f^{(2 n-1)}(0)=0$ ．
方法 2：由 $f(x)$ 的表达式知 $x f(x)=\sin x$ ，所以 $x f^{(k+1)}(x)+k f^{(k)}(x)=(\sin x)^{(k+1)}$ 。故
$$
f^{(k)}(0)=\left.\frac{1}{k}(\sin x)^{(k+1)}\right|_{x=0}=\frac{1}{k} \sin \frac{(k+1) \pi}{2}
$$
（2）因为 $\displaystyle y^{\prime}=\frac{2 \arcsin x}{\sqrt{1-x^{2}}}$ ，所以
求导得
$$
\begin{gathered}
\left(1-x^{2}\right) y^{\prime 2}=4 y \\
\left(1-x^{2}\right) y^{\prime \prime}-x y^{\prime}-2=0
\end{gathered}
$$
求 $\boldsymbol{n}$ 阶导数得
$$
\left(1-x^{2}\right) y^{(n+2)}-(2 n+1) x y^{(n+1)}-n^{2} y^{(n)}=0
$$
令 $x=0$ ，则 $y^{(n+2)}(0)=n^{2} y^{(n)}(0)$ ．由于 $y(0)=y^{\prime}(0)=0, y^{\prime \prime}(0)=1$ ，利用り纳法可得
$$
y^{(2 k)}(0)=2^{2 k-1}((k-1)!)^{2}, y^{(2 k-1)}(0)=0, k=1,2, \cdots
$$
（3）由 $\displaystyle \arccos x=-\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2 n-1)!!}{(2 n)!!} \cdot \frac{1}{2 n+1} x^{2 n+1}$ 得 $\displaystyle y=x \arccos x=-\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2 n-1)!!}{(2 n)!!} \cdot \frac{1}{2 n+1} x^{2 n+2}$ 。由幂级数系数的唯一性，
于是
$$
\begin{aligned}
& \frac{f^{(2 n+2)}(0)}{(2 n+2)!}=-\frac{(2 n-1)!!}{(2 n+1)(2 n)!!} . \\
& f^{(2 n+2)}(0)=-\frac{(2 n+2)!(2 n-1)!!}{(2 n+1)(2 n)!!}, f^{(k)}(0)=0, k \neq 2 n+2 .
\end{aligned}
$$
（4）由 $\displaystyle \sin x=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{x^{2 n-1}}{(2 n-1)!}$ 得 $\displaystyle y=\sin x^{2}=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{x^{4 n-2}}{(2 n-1)!}$ ．由幂级数系数的唯一性，
$$
\frac{f^{(4 n-2)}(0)}{(4 n-2)!}=(-1)^{n-1} \frac{1}{(2 n-1)!}
$$
于是
$$
f^{(4 n-2)}(0)=(-1)^{n-1} \frac{(4 n-2)!}{(2 n-1)!}, f^{(k)}(0)=0, k \neq 4 n-2
$$
（5）由 $\displaystyle \mathrm{e}^{x}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!}$ 得 $\displaystyle y=x^{3} \mathrm{e}^{-2 x}=x^{3} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-2 x)^{n}}{n!}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} \frac{2^{n}}{n!} x^{n+3}$ ．由幂级数系数的唯一性，
$$
\frac{f^{(n+3)}(0)}{(n+3)!}=(-1)^{n} \frac{2^{n}}{n!}
$$
所以 $\displaystyle \quad f^{(n+3)}(0)=(-1)^{n} \frac{2^{n}(n+3)!}{n!}, f^{(k)}(0)=0, k \neq n+3$ ．
（6）由于 $\displaystyle \arctan \frac{x-y}{1+x y}=\arctan x-\arctan y$ ，所以
$$
y=\arctan \frac{1+x^{2}}{1-x^{2}}=\arctan \frac{1-\left(-x^{2}\right)}{1+1 \cdot\left(-x^{2}\right)}=\arctan 1-\arctan \left(-x^{2}\right)=\frac{\pi}{4}+\arctan x^{2} .
$$
又 $\displaystyle \arctan x=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{x^{2 n-1}}{2 n-1}$ ，所以 $\displaystyle y=\frac{\pi}{4}+\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{x^{4 n-2}}{2 n-1}$ ．再由幂级数系数的唯一性，
$$
\frac{f^{(4 n-2)}(0)}{(4 n-2)!}=(-1)^{n-1} \frac{2^{n}}{2 n-1}
$$
所以
$$
f^{(4 n-2)}(0)=(-1)^{n-1} \frac{(4 n-2)!}{2 n-1}, f^{(k)}(0)=0, k \neq 4 n-2 .
$$
（7）由 $\displaystyle \mathrm{e}^{x}-1=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!}$ 得 $\displaystyle \frac{\mathrm{e}^{x}-1}{x}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{n-1}}{n!}$ ．由幂级数系数的唯一性，$\displaystyle \frac{f^{(n-1)}(0)}{(n-1)!}=\frac{1}{n!}$ ，即
$$
f^{(n-1)}(0)=\frac{(n-1)!}{n!}=\frac{1}{n} .
$$
（8）由于 $f(x)$ 为奇函数，所以 $f^{(6)}(x)$ 也为奇函数，从而 $f^{(6)}(0)=0, \int_{-1}^{1} f^{(6)}(x) \mathrm{d} x=0$ ．
（9）因 $f(-x)=\mathrm{e}^{(-x)^{2}} \sin (-x)=-f(x)$ ，即 $f(x)$ 为奇函数，从而
$$
f^{(2012)}(-x)(-1)^{2012}=-f^{(2012)}(x) .
$$
于是 $f^{(2012)}(0)=-f^{(2012)}(0)$ ．故 $f^{(2012)}(0)=0$ ．
（10）方法 1：令 $u=x^{4}, v=\mathrm{e}^{x}$ ，则
$$
f^{(n)}(x)=\sum_{k=0}^{n} \mathrm{C}_{n}^{k} u^{(k)} v^{(n-k)}=x^{4} \mathrm{e}^{x}+\mathrm{C}_{n}^{1} 4 x^{3} \mathrm{e}^{x}+\mathrm{C}_{n}^{2} 12 x^{2} \mathrm{e}^{x}+\mathrm{C}_{n}^{3} 24 x \mathrm{e}^{x}+\mathrm{C}_{n}^{4} 24 \mathrm{e}^{x}
$$
所以 $f^{(n)}(0)=24 \mathrm{C}_{n}^{4}$ ．
方法 2：由 $\displaystyle \mathrm{e}^{x}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!}$ 得 $\displaystyle f(x)=x^{4} \mathrm{e}^{x}=x^{4} \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} x^{n+4}$ 。由幂级数系数的唯一性， $\displaystyle \frac{f^{(n+4)}(0)}{(n+4)!}=\frac{1}{n!}$ ．所以 $f^{(n)}(0)=24 C_{n}^{4}$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：将函数展开为幂级数
利用 $\sin x$ 的泰勒展开：$\sin x = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!}$，则当 $x \neq 0$ 时，$f(x) = \frac{\sin x}{x} = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{x^{2n-2}}{(2n-1)!}$。该级数在 $x=0$ 处也收敛到 $f(0)=1$，因此 $f(x)$ 的麦克劳林级数为 $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{x^{2n-2}}{(2n-1)!}$。
公式：$\sin x = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{x^{2n-1}}{(2n-1)!}$
提示：注意 $f(x)$ 在 $x=0$ 处定义为1，与级数在 $x=0$ 处的值一致。
步骤 2/3
目标：利用泰勒系数公式求高阶导数
由麦克劳林级数 $f(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(0)}{k!} x^k$ 与上述级数对比系数。级数中只有偶次项（$x^{2n-2}$），奇次项系数为0。对于 $k=2n-2$，有 $\frac{f^{(2n-2)}(0)}{(2n-2)!} = \frac{(-1)^{n-1}}{(2n-1)!}$，因此 $f^{(2n-2)}(0) = \frac{(-1)^{n-1}}{2n-1}$。对于奇数阶导数，$f^{(2n-1)}(0)=0$。
公式：$f(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(0)}{k!} x^k$
提示：注意幂级数中 $x$ 的指数与导数阶数的对应关系。
步骤 3/3
目标：总结结果
最终得到：$f^{(2n-2)}(0) = \frac{(-1)^{n-1}}{2n-1}$，$f^{(2n-1)}(0)=0$，其中 $n \in \mathbb{N}$。
提示：注意 $n$ 从1开始，$2n-2$ 包括0阶导数。
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