上册 3.1 一元函数的导数 第32题
📝 题目
32．证明：函数 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{l}\mathrm{e}^{-\frac{1}{x^{2}}}, x \neq 0 \\ 0, x=0\end{array}\right.$ 在 $x=0$ 处 $f^{(n)}(0)=0, n=1,2,3 \cdots$
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
$$
\begin{aligned}
& f^{\prime}(0)=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{-\frac{1}{x^{2}}}}{x}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\frac{1}{x}}{\frac{1}{x^{2}}}=\lim _{y \rightarrow \infty} \frac{y}{\mathrm{e}^{y^{2}}}=0 \\
& f^{\prime}(x)=\mathrm{e}^{-\frac{1}{x^{2}}} \cdot\left(\frac{2}{x^{3}}\right)=\mathrm{e}^{-\frac{1}{x^{2}}} \cdot P_{1}\left(\frac{1}{x}\right)
\end{aligned}
$$
于是 $\displaystyle f^{\prime}(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{2}{x^{3}} \mathrm{e}^{-\frac{1}{x^{2}}}, x \neq 0, \\ 0, x=0 .\end{array}\right.$
同理，$\displaystyle f^{\prime \prime}(x)=\left\{\begin{array}{l}\left(\frac{4}{x^{6}}-\frac{6}{x^{4}}\right) \mathrm{e}^{-\frac{1}{x^{2}}}, x \neq 0, \\ 0, x=0 .\end{array}\right.$
假设 $f^{(n-1)}(0)=0$ ，易证 $\displaystyle f^{(n-1)}(x)=P\left(\frac{1}{x}\right) \mathrm{e}^{-\frac{1}{x^{2}}}, x \neq 0$ ，其中 $\displaystyle P\left(\frac{1}{x}\right)$ 表示关于 $\displaystyle \frac{1}{x}$ 的某个多项式。因此
$$
f^{(n)}(0)=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f^{(n-1)}(x)-f^{(n-1)}(0)}{x-0}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{P\left(\frac{1}{x}\right) \mathrm{e}^{-\frac{1}{x^{2}}}}{x}=\lim _{y \rightarrow \infty} \frac{y P(y)}{\mathrm{e}^{y^{2}}}=0 .
$$
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：验证函数在x=0处的连续性
由于 $\lim_{x \to 0} f(x) = \lim_{x \to 0} e^{-1/x^2} = 0 = f(0)$，所以 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续。
公式：$\lim_{x \to 0} e^{-1/x^2} = 0$
提示：注意 $e^{-1/x^2}$ 当 $x \to 0$ 时趋于0，因为指数负无穷大。
步骤 2/6
目标：计算一阶导数在x=0处的值
利用导数定义：$f'(0) = \lim_{x \to 0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0} = \lim_{x \to 0} \frac{e^{-1/x^2}}{x}$。令 $y = 1/x$，则当 $x \to 0$ 时 $y \to \infty$，极限化为 $\lim_{y \to \infty} \frac{y}{e^{y^2}} = 0$（因为指数增长更快）。所以 $f'(0)=0$。
公式：$f'(0) = \lim_{x \to 0} \frac{e^{-1/x^2}}{x} = 0$
提示：注意 $x$ 可正可负，但极限结果相同。
步骤 3/6
目标：求x≠0时的一阶导数表达式
当 $x \neq 0$ 时，$f'(x) = e^{-1/x^2} \cdot \frac{2}{x^3}$。可写为 $f'(x) = P_1(1/x) e^{-1/x^2}$，其中 $P_1(t)=2t^3$ 是 $t$ 的多项式。
公式：$f'(x) = \frac{2}{x^3} e^{-1/x^2}, x \neq 0$
提示：注意复合函数求导：$\frac{d}{dx} e^{-1/x^2} = e^{-1/x^2} \cdot \frac{2}{x^3}$。
步骤 4/6
目标：归纳假设：n-1阶导数形式
假设 $f^{(n-1)}(0)=0$，且当 $x \neq 0$ 时 $f^{(n-1)}(x) = P(1/x) e^{-1/x^2}$，其中 $P$ 是某个多项式。
公式：$f^{(n-1)}(x) = P(1/x) e^{-1/x^2}$
提示：归纳假设是证明的关键。
步骤 5/6
目标：证明n阶导数在x=0处为0
由导数定义：$f^{(n)}(0) = \lim_{x \to 0} \frac{f^{(n-1)}(x)-f^{(n-1)}(0)}{x-0} = \lim_{x \to 0} \frac{P(1/x) e^{-1/x^2}}{x}$。令 $y=1/x$，则 $x \to 0$ 时 $y \to \infty$，极限化为 $\lim_{y \to \infty} \frac{y P(y)}{e^{y^2}} = 0$，因为分子是多项式，分母是指数增长。所以 $f^{(n)}(0)=0$。
公式：$f^{(n)}(0) = \lim_{y \to \infty} \frac{y P(y)}{e^{y^2}} = 0$
提示：注意 $yP(y)$ 仍是多项式，指数 $e^{y^2}$ 增长更快。
步骤 6/6
目标：归纳完成，结论成立
由数学归纳法，对任意正整数 $n$，有 $f^{(n)}(0)=0$。
提示：归纳基础：$f(0)=0$ 已证；归纳步骤已证。
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