上册 3.1 一元函数的导数 第33题
📝 题目
33．设 $f(x)=x \sin \omega x$ ，求证：$f^{(2 n)}(x)=(-1)^{n}\left(\omega^{2 n} x \sin \omega x-2 n \omega^{2 n-1} \cos \omega x\right), n=1,2, \cdots$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
由 Leibniz 公式得
$$
\begin{aligned}
f^{(2 n)}(x) & =(x \sin \omega x)^{(2 n)}=x(\sin \omega x)^{(2 n)}+C_{n}^{1}(\sin \omega x)^{(2 n-1)} \\
& =x \cdot \omega^{2 n} \sin (\omega x+n \pi)+C_{2 n}^{1} \cdot \omega^{2 n-1} \sin \left(\omega x+\frac{2 n-1}{2} \pi\right) \\
& =(-1)^{n}\left(\omega^{2 n} x \sin \omega x-2 n \omega^{2 n-1} \cos \omega x\right)
\end{aligned}
$$
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：识别函数形式并准备应用Leibniz公式
给定函数 $f(x)=x \sin \omega x$，这是两个函数 $u(x)=x$ 和 $v(x)=\sin \omega x$ 的乘积。求 $f^{(2n)}(x)$，即 $2n$ 阶导数。由于 $u(x)=x$ 只有一阶导数非零，高阶导数为零，因此应用Leibniz公式时只有前两项有效。
公式：Leibniz公式：$(uv)^{(n)}=\sum_{k=0}^{n} C_n^k u^{(k)} v^{(n-k)}$
提示：注意 $u(x)=x$ 的二阶及以上导数为0，所以求和只有 $k=0,1$ 两项。
步骤 2/5
目标：写出Leibniz公式展开式
由Leibniz公式：
$$f^{(2n)}(x) = (x \sin \omega x)^{(2n)} = \sum_{k=0}^{2n} C_{2n}^k x^{(k)} (\sin \omega x)^{(2n-k)}$$
由于 $x'=1$，$x''=0$，所以只有 $k=0$ 和 $k=1$ 项非零：
$$f^{(2n)}(x) = C_{2n}^0 x (\sin \omega x)^{(2n)} + C_{2n}^1 \cdot 1 \cdot (\sin \omega x)^{(2n-1)}$$
提示：注意组合数 $C_{2n}^0=1$，$C_{2n}^1=2n$。
步骤 3/5
目标：计算正弦函数的高阶导数
正弦函数的高阶导数公式：$(\sin \omega x)^{(m)} = \omega^m \sin(\omega x + \frac{m\pi}{2})$。
对于 $m=2n$：$(\sin \omega x)^{(2n)} = \omega^{2n} \sin(\omega x + n\pi)$。
对于 $m=2n-1$：$(\sin \omega x)^{(2n-1)} = \omega^{2n-1} \sin(\omega x + \frac{2n-1}{2}\pi)$。
公式：$(\sin \omega x)^{(m)} = \omega^m \sin(\omega x + \frac{m\pi}{2})$
提示：注意相位变换：$\sin(\theta + n\pi) = (-1)^n \sin \theta$，$\sin(\theta + \frac{2n-1}{2}\pi) = (-1)^n \cos \theta$？需验证。
步骤 4/5
目标：代入并简化表达式
代入组合数和导数：
$$f^{(2n)}(x) = x \cdot \omega^{2n} \sin(\omega x + n\pi) + 2n \cdot \omega^{2n-1} \sin\left(\omega x + \frac{2n-1}{2}\pi\right)$$
利用三角恒等式：
$\sin(\omega x + n\pi) = (-1)^n \sin \omega x$，
$\sin\left(\omega x + \frac{2n-1}{2}\pi\right) = \sin\left(\omega x + n\pi - \frac{\pi}{2}\right) = (-1)^n \sin\left(\omega x - \frac{\pi}{2}\right) = (-1)^n (-\cos \omega x) = (-1)^{n+1} \cos \omega x$？
实际上：$\sin(\theta + \frac{2n-1}{2}\pi) = \sin(\theta + n\pi - \frac{\pi}{2}) = (-1)^n \sin(\theta - \frac{\pi}{2}) = (-1)^n (-\cos \theta) = (-1)^{n+1} \cos \theta$。
公式：$\sin(\theta + n\pi) = (-1)^n \sin \theta$，$\sin(\theta + \frac{\pi}{2}) = \cos \theta$
提示：注意符号：$\sin(\theta - \frac{\pi}{2}) = -\cos \theta$，所以最终得到 $(-1)^{n+1} \cos \omega x$。
步骤 5/5
目标：合并得到最终结果
代入简化：
$$f^{(2n)}(x) = x \cdot \omega^{2n} (-1)^n \sin \omega x + 2n \cdot \omega^{2n-1} \cdot (-1)^{n+1} \cos \omega x$$
提取公因子 $(-1)^n$：
$$f^{(2n)}(x) = (-1)^n \left( \omega^{2n} x \sin \omega x - 2n \omega^{2n-1} \cos \omega x \right)$$
这正是要证明的等式。
提示：注意第二项符号：$(-1)^{n+1} = -(-1)^n$，所以括号内为减号。
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