上册 3.1 一元函数的导数 第34题
📝 题目
34．设 $f(x)=\arctan x$ ，试求 $f^{(n)}(0)$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
方法 1：由于 $\displaystyle f^{\prime}(x)=\frac{1}{1+x^{2}}, f^{\prime \prime}(x)=\frac{-2 x}{\left(1+x^{2}\right)^{2}}=\frac{-2 x}{1+x^{2}} f^{\prime}(x)$ ，即
$$
\left(1+x^{2}\right) f^{\prime \prime}(x)+2 x f^{\prime}(x)=0
$$
应用莱布尼兹公式求关于 $x$ 的 $n$ 阶导数并整理得
$$
\left(1+x^{2}\right) f^{(n+1)}(x)+2 n x f^{(n)}(x)+n(n-1) f^{(n-1)}(x)=0 .
$$
令 $x=0$ 得
$$
f^{(n)}(0)=-(n-1)(n-2) f^{(n-2)}(0) .
$$
由上述递推公式及 $f(0)=0, f^{\prime}(0)=1$ 得
$$
f^{(k)}(0)=0, k=2 n, f^{(k)}(0)=\frac{(-1)^{n}}{2 n+1}(2 n+1)!=(-1)^{n}(2 n)!, k=2 n+1 .
$$
方法 2：$\displaystyle f^{\prime}(x)=\frac{1}{1+x^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} x^{2 n},|x|<1$ 。
两端从 0 到 $x$ 积分得 $f(x)$ 的 Maclaurin 展式为
$$
f(x)=\sum_{n=0}^{x} \frac{(-1)^{n}}{2 n+1} x^{2 n+1},|x|<1
$$
所以 $\displaystyle a_{2 n}=0, a_{2 n+1}=\frac{(-1)^{n}}{2 n+1} \quad(n=0,1,2, \cdots)$ ．于是
$$
f^{(k)}(0)=0, k=2 n, f^{(k)}(0)=\frac{(-1)^{n}}{2 n+1}(2 n+1)!=(-1)^{n}(2 n)!, k=2 n+1
$$
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：求一阶和二阶导数
已知 $f(x)=\arctan x$，则 $f'(x)=\frac{1}{1+x^2}$，$f''(x)=\frac{-2x}{(1+x^2)^2}$。
公式：$f'(x)=\frac{1}{1+x^2}$
提示：注意二阶导数的计算，使用商的导数或链式法则。
步骤 2/7
目标：建立微分方程
由 $f''(x)=\frac{-2x}{1+x^2}f'(x)$，两边乘以 $1+x^2$ 得 $(1+x^2)f''(x)+2xf'(x)=0$。
公式：$(1+x^2)f''(x)+2xf'(x)=0$
提示：注意将 $f''(x)$ 表达为 $f'(x)$ 的倍数，以便消去分母。
步骤 3/7
目标：应用莱布尼兹公式求n阶导数
对 $(1+x^2)f''(x)+2xf'(x)=0$ 两边求 $n$ 阶导数，利用莱布尼兹公式：$(uv)^{(n)}=\sum_{k=0}^n C_n^k u^{(k)} v^{(n-k)}$。令 $u=1+x^2$，$v=f''(x)$，则 $u'=2x$，$u''=2$，$u^{(k)}=0$ 当 $k\ge 3$。类似处理 $2xf'(x)$。整理得 $(1+x^2)f^{(n+1)}(x)+2nxf^{(n)}(x)+n(n-1)f^{(n-1)}(x)=0$。
公式：$(1+x^2)f^{(n+1)}(x)+2nxf^{(n)}(x)+n(n-1)f^{(n-1)}(x)=0$
提示：注意莱布尼兹公式中各项的系数，尤其是 $C_n^k$ 的计算。
步骤 4/7
目标：代入x=0得到递推关系
令 $x=0$，得 $f^{(n+1)}(0)+n(n-1)f^{(n-1)}(0)=0$，即 $f^{(n+1)}(0)=-n(n-1)f^{(n-1)}(0)$。改写为 $f^{(n)}(0)=-(n-1)(n-2)f^{(n-2)}(0)$。
公式：$f^{(n)}(0)=-(n-1)(n-2)f^{(n-2)}(0)$
提示：注意下标变换，确保递推关系正确。
步骤 5/7
目标：利用初始条件求解递推
已知 $f(0)=0$，$f'(0)=1$。由递推式，当 $n$ 为偶数时，$f^{(2k)}(0)=0$；当 $n$ 为奇数时，设 $n=2k+1$，则 $f^{(2k+1)}(0)=-(2k)(2k-1)f^{(2k-1)}(0)$。递推得 $f^{(2k+1)}(0)=(-1)^k (2k)!$。
公式：$f^{(2k+1)}(0)=(-1)^k (2k)!$
提示：注意递推的符号和阶乘计算，从 $f'(0)=1$ 开始。
步骤 6/7
目标：方法二：利用泰勒级数展开
由 $f'(x)=\frac{1}{1+x^2}=\sum_{n=0}^\infty (-1)^n x^{2n}$，$|x|<1$。积分得 $f(x)=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{2n+1}x^{2n+1}$。
公式：$f(x)=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{2n+1}x^{2n+1}$
提示：注意积分常数由 $f(0)=0$ 确定。
步骤 7/7
目标：由泰勒系数得到高阶导数
泰勒展开 $f(x)=\sum_{k=0}^\infty \frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k$，比较系数得：$f^{(2n)}(0)=0$，$\frac{f^{(2n+1)}(0)}{(2n+1)!}=\frac{(-1)^n}{2n+1}$，故 $f^{(2n+1)}(0)=(-1)^n (2n)!$。
公式：$f^{(k)}(0)=k! \cdot a_k$
提示：注意 $k!$ 与系数的对应关系，避免混淆。
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