上册 3.2 微分中值问题 第1题
📝 题目
1．（推广的罗尔定理）设 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内可微，$a, b$ 为有限数或无穷，且 $\lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)=\lim _{x \rightarrow b^{-}} f(x)=A$（有限值 $+\infty$ 或 $-\infty$ ）。试证：$\exists \xi \in(a, b)$ 使 $f^{\prime}(\xi)=0$ 。
特殊情形：
（1）若 $f(x)$ 在有限开区间 $(a, b)$ 内可导，且 $\lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)=\lim _{x \rightarrow b^{-}} f(x)$ ，则至少存在一点 $\xi \in(a, b)$ 使 $f^{\prime}(\xi)=0$ ．
（2）若 $f(x)$ 在 $(a,+\infty)$ 上可导，且 $\lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)=\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=A$ ，则存在 $\xi \in(a,+\infty)$ 使 $f^{\prime}(\xi)=0$ ．
（3）设 $f(x)$ 在 $(-\infty, c)$ 上可导，且 $\lim _{x \rightarrow c^{c}} f(x)=\lim _{x \rightarrow-x} f(x)=A$ ，求证存在 $\xi \in(-\infty, c)$ 使 $f^{\prime}(\xi)=0$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
若 $f(x) \equiv A$（有限值），则 $f^{\prime}(x)=0$ ．
若 $f(x) \neq A$ ，则 $\exists x_{0} \in(a, b)$ 使 $f\left(x_{0}\right) \neq A$ 。不妨设 $f\left(x_{0}\right)>A$ 。
因为 $\lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)=\lim _{x \rightarrow b} f(x)=A$ ，且 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内连续，所以对任意取定的数 $\mu: A<\mu-\infty$ ），对任取的数 $\mu: f\left(x_{0}\right)<\mu<+\infty$（或 $f\left(x_{0}\right)>\mu>-\infty$ ），进行上面的推导。
（1）令 $F(x)=\left\{\begin{array}{l}\lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x), x=a, \\ f(x), aA|f(x)-f(1)|<\varepsilon$ ，即
$$
\lim _{x \rightarrow a^{+}} f(x)=\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=A
📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：分类讨论常数函数情形
若 $f(x) \equiv A$（有限值），则 $f'(x)=0$，结论显然成立。
提示：注意常数函数时导数为0，直接满足结论。
步骤 2/8
目标：非常数函数情形：存在函数值不等于极限值的点
若 $f(x) \not\equiv A$，则存在 $x_0 \in (a,b)$ 使得 $f(x_0) \neq A$。不妨设 $f(x_0) > A$（若 $f(x_0) < A$ 同理）。
提示：注意极限值A可以是有限数或无穷，但此处假设A为有限值，无穷情形后面单独处理。
步骤 3/8
目标：利用极限和介值定理构造相等函数值
由于 $\lim_{x \to a^+} f(x) = \lim_{x \to b^-} f(x) = A$，且 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 内连续，取数 $\mu$ 满足 $A < \mu < f(x_0)$。由极限定义，存在 $\delta_1 > 0$ 使得当 $x \in (a, a+\delta_1)$ 时 $f(x) < \mu$，同理存在 $\delta_2 > 0$ 使得当 $x \in (b-\delta_2, b)$ 时 $f(x) < \mu$。由介值定理，存在 $\eta \in (a, x_0)$ 和 $\zeta \in (x_0, b)$ 使得 $f(\eta) = f(\zeta) = \mu$。
公式：介值定理：若连续函数在区间两端取异号值，则中间存在零点。
提示：注意极限为A意味着在端点附近函数值可以任意接近A，从而小于μ。
步骤 4/8
目标：应用罗尔定理得到导数为零的点
由于 $f(\eta) = f(\zeta)$，且 $f$ 在 $[\eta, \zeta]$ 上连续，在 $(\eta, \zeta)$ 内可导，由罗尔定理，存在 $\xi \in (\eta, \zeta) \subset (a,b)$ 使得 $f'(\xi) = 0$。
公式：罗尔定理：若 $f$ 在 $[a,b]$ 连续，在 $(a,b)$ 可导，且 $f(a)=f(b)$，则存在 $\xi \in (a,b)$ 使 $f'(\xi)=0$。
提示：注意区间端点函数值相等是应用罗尔定理的关键。
步骤 5/8
目标：处理极限为无穷的情形
若 $A = +\infty$（或 $-\infty$），则在 $(a,b)$ 内任取一点 $x_0$，有 $f(x_0) < +\infty$（或 $f(x_0) > -\infty$）。对任意取定的数 $\mu$ 满足 $f(x_0) < \mu < +\infty$（或 $f(x_0) > \mu > -\infty$），由于极限为无穷，存在 $\eta \in (a, x_0)$ 和 $\zeta \in (x_0, b)$ 使得 $f(\eta) = f(\zeta) = \mu$，然后同样应用罗尔定理。
提示：无穷情形下，极限值不是有限数，但函数值可以取任意大的数，因此仍可构造相等的函数值。
步骤 6/8
目标：特殊情形（1）：有限开区间且极限相等
构造辅助函数 $F(x) = \begin{cases} \lim_{x \to a^+} f(x), & x=a, \\ f(x), & a
公式：罗尔定理
提示：注意端点处函数值定义为极限值，保证连续性。
步骤 7/8
目标：特殊情形（2）：无穷区间 $(a, +\infty)$
若 $f(x)$ 恒等于常数 $A$，则结论成立。否则存在 $x_0$ 使 $f(x_0) > A$（或 $
公式：费马定理：若函数在极值点可导，则导数为零。
提示：注意最大值不在端点，因为端点函数值小于内部某点值。
步骤 8/8
目标：特殊情形（3）：无穷区间 $(-\infty, c)$
与情形（2）类似，只需将区间改为 $(-\infty, c)$，并考虑极限 $\lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to c^-} f(x) = A$。同样可证存在 $\xi \in (-\infty, c)$ 使 $f'(\xi)=0$。
提示：注意无穷远点极限的处理与情形（2）对称。
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