上册 3.2 微分中值问题 第2题
📝 题目
2．设函数 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上连续并且在 $(0,+\infty)$ 内可导．若 $f(x) \geqslant 0$（但不恒为零）， $f(0)=0, \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ 。则（1）存在 $\xi \in(0,+\infty)$ 使得 $f^{\prime}(\xi)=0$ ；（2）存在直线 $y=b>0$ 与曲线 $y=f(x)$ 至少交于两点。
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
由 2.1 题 29 得 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上到最大值，存在 $\xi \in(0,+\infty)$ 使得 $\max f(x)=f(\xi)$ ，于是 $f^{\prime}(\xi)=0$ ．
由介值定理，对 $00$ 与曲线 $y=f(x)$ 至少交于两点．
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：证明存在最大值点
由于 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上连续且 $\lim_{x\to+\infty}f(x)=0$，$f(0)=0$，且 $f(x)\geq 0$ 不恒为零，故存在 $x_0>0$ 使得 $f(x_0)>0$。由极限定义，存在 $X>0$ 使得当 $x>X$ 时 $f(x)X$ 时 $f(x)0$）。
提示：注意最大值点不能在端点0，因为f(0)=0且存在正值。
步骤 2/7
目标：由费马引理得导数为零
由于 $f$ 在 $(0,+\infty)$ 内可导，且 $\xi$ 是 $(0,+\infty)$ 内的最大值点，根据费马引理，若 $f$ 在 $\xi$ 处可导，则 $f'(\xi)=0$。
公式：费马引理：若 $f$ 在 $x_0$ 处可导且取极值，则 $f'(x_0)=0$。
提示：确保 $\xi$ 是内点，且 $f$ 在该点可导。
步骤 3/7
目标：结论（1）得证
因此，存在 $\xi\in(0,+\infty)$ 使得 $f'(\xi)=0$。
步骤 4/7
目标：分析函数值范围
由 $f(0)=0$，$\lim_{x\to+\infty}f(x)=0$，且 $f$ 不恒为零，最大值 $M>0$。对于任意 $b$ 满足 $0
提示：注意 $b$ 必须介于0和最大值之间。
步骤 5/7
目标：应用介值定理于左区间
在区间 $[0,\xi]$ 上，$f(0)=0< b < f(\xi)=M$，由介值定理，存在 $x_1\in(0,\xi)$ 使得 $f(x_1)=b$。
公式：介值定理：若连续函数 $g$ 在 $[a,b]$ 上满足 $g(a)
提示：注意 $f(0)=0$，$f(\xi)=M$，且 $b$ 在两者之间。
步骤 6/7
目标：应用介值定理于右区间
在区间 $[\xi,+\infty)$ 上，由于 $\lim_{x\to+\infty}f(x)=0$，存在 $X>\xi$ 使得 $f(X)b>f(X)$，由介值定理，存在 $x_2\in(\xi,X)$ 使得 $f(x_2)=b$。
公式：介值定理（同上）
提示：需要先找到 $X$ 使得 $f(X)
步骤 7/7
目标：结论（2）得证
因此，直线 $y=b$ 与曲线 $y=f(x)$ 至少有两个交点 $(x_1,b)$ 和 $(x_2,b)$，其中 $x_1
提示：注意 $b$ 是任意满足 $0
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