上册 3.2 微分中值问题 第4题
📝 题目
4．证明下列命题．
（1）设 $a<0$ ，函数 $f(x)$ 在区间 $[a,+\infty)$ 上可导， $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0, f(0) \cdot f^{\prime}(0) \geqslant 0$ ．证明：存 在 $\xi \in[a,+\infty)$ 使得 $f^{\prime}(\xi)=0$ ．
（2）设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上可导，若 $f_{+}^{\prime}(a)>0, f(a)>f(b)$ ．证明：存在 $\xi \in(a, b)$ 使得 $f^{\prime}(\xi)=0$ ．
💡 答案解析
\section*{解题过程：}
（1）设 $f(0)>0, f^{\prime}(0)>0$ ，由极限保号性，在某一邻域 $U_{+}^{\circ}(0)$ 内，
$$
\frac{f(x)-f(0)}{x}>0 \text {, 即 } f(x)>f(0)>0 \text {. }
$$
从而存在 $x_{1}>0$ 使 $f\left(x_{1}\right)>f(0)>0$ 。由 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=0$ ，存在 $x_{2}>x_{1}$ 使 $f\left(x_{2}\right)0, f(a)>f(b)$ ，由极限保号性，存在点 $a$ 的某一右邻域 $U_{+}^{\circ}(a)$ ，使
$$
\frac{f(x)-f(a)}{x-a}>0
$$
从而存在 $x_{1}>a$ 使，$f\left(x_{1}\right)>f(a)>f(b)$ 。又 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，从而取到最大值，但最大值不会在端点取到，故最大值在 $[a, b]$ 内部一点 $\xi$ 取到，由费马定理得证。
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分析条件并分类讨论
题目（1）中，已知 $a<0$，$f$ 在 $[a,+\infty)$ 可导，$\lim_{x\to+\infty}f(x)=0$，$f(0)\cdot f'(0)\geq 0$。需要证明存在 $\xi\in[a,+\infty)$ 使得 $f'(\xi)=0$。若 $f'(0)=0$，则取 $\xi=0$ 即得证。因此只需考虑 $f'(0)\neq 0$ 的情形，此时 $f(0)\cdot f'(0)>0$，即 $f(0)$ 与 $f'(0)$ 同号。不妨设 $f(0)>0$，$f'(0)>0$（若 $f(0)<0$，$f'(0)<0$ 可类似讨论）。
提示：注意分类讨论：当 $f'(0)=0$ 时结论显然成立，避免遗漏。
步骤 2/6
目标：利用导数定义和极限保号性找到 $x_1>0$ 使 $f(x_1)>f(0)$
由 $f'(0)>0$ 及导数定义：$f'(0)=\lim_{x\to 0^+}\frac{f(x)-f(0)}{x}>0$。根据极限保号性，存在 $\delta>0$，使得当 $00$，从而 $f(x)>f(0)>0$。取 $x_1\in(0,\delta)$，则 $f(x_1)>f(0)$。
公式：$f'(0)=\lim_{x\to 0^+}\frac{f(x)-f(0)}{x}>0$
提示：注意极限保号性要求极限值大于0，则局部函数值也大于0。
步骤 3/6
目标：利用无穷远极限找到 $x_2>x_1$ 使 $f(x_2)
由 $\lim_{x\to+\infty}f(x)=0$，且 $f(0)>0$，取 $\varepsilon = f(0)/2 >0$，则存在 $X>0$，当 $x>X$ 时，$|f(x)|<\varepsilon$，即 $f(x)\max\{x_1, X\}$，则 $f(x_2)
公式：$\lim_{x\to+\infty}f(x)=0$
提示：注意 $f(0)>0$，所以 $f(0)/2$ 是正数，确保存在 $x_2$ 使 $f(x_2)
步骤 4/6
目标：应用费马定理得到结论
由于 $f$ 在 $[x_1,x_2]$ 上连续，故存在最大值。由 $f(x_1)>f(0)$ 且 $f(x_2)f(0)>f(x_2)$，但 $f(0)$ 不在区间内？注意：最大值点可能在内部，且 $f(x_1)>f(0)$，但 $f(0)$ 不是端点值，实际上最大值点 $\xi$ 满足 $f(\xi)\geq f(x_1)>f(0)>f(x_2)$，所以 $\xi$ 不是 $x_2$；又因为 $f(x_1)$ 可能不是最大值，但最大值点一定在 $(x_1,x_2)$ 内部，因为 $f(x_2)$ 更小。严格来说，由 $f(x_1)>f(x_2)$，最大值点 $\xi$ 必在 $(x_1,x_2)$ 内，且 $f$ 在 $\xi$ 处可导，由费马定理得 $f'(\xi)=0$。
公式：费马定理：若 $f$ 在 $\xi$ 处可导且取极值，则 $f'(\xi)=0$
提示：注意最大值点一定在区间内部，因为端点值不是最大。
步骤 5/6
目标：证明第二问：由右导数大于0得到内部点函数值大于端点
（2）已知 $f$ 在 $[a,b]$ 可导，$f'_+(a)>0$，$f(a)>f(b)$。由右导数定义：$f'_+(a)=\lim_{x\to a^+}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}>0$。根据极限保号性，存在 $\delta>0$，当 $a0$，从而 $f(x)>f(a)$。取 $x_1\in(a,a+\delta)$，则 $f(x_1)>f(a)>f(b)$。
公式：$f'_+(a)=\lim_{x\to a^+}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}>0$
提示：注意右导数定义中 $x$ 从右侧趋近 $a$。
步骤 6/6
目标：利用连续函数最大值定理和费马定理
由于 $f$ 在 $[a,b]$ 上连续，故存在最大值。由 $f(x_1)>f(a)>f(b)$，最大值点 $\xi$ 不能是 $a$ 或 $b$（因为 $f(a)$ 和 $f(b)$ 都小于 $f(x_1)$，而 $x_1$ 在内部，所以最大值点 $\xi$ 必在 $(a,b)$ 内）。$f$ 在 $\xi$ 处可导，由费马定理得 $f'(\xi)=0$。
公式：费马定理
提示：注意最大值点一定在内部，因为端点值不是最大。
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